行列式之一元滅絕法

Posted on 10/25/2012 by ccjou

本文的閱讀等級：初級

令 A=[a_{ij}] 為一 n\times n 階實矩陣。將 A 的 (p,q) 元 a_{pq} 以 a_{pq}' 取代，其餘元維持不變，稱新矩陣為 A'。那麼對於每一可逆矩陣 A，是否總是存在一元 a_{pq}' 使得 A' 不可逆，即 \det A'=0？明顯地，當 n=1，只要用 0 取代 A 的唯一元即可。當 n=2，令 A=\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix} 且 \det A=ad-bc\neq 0。若 A 不含零元，適當地改變 A 的任何一個元都可消滅行列式，譬如，A'=\begin{bmatrix} bc/d&b\\ c&d \end{bmatrix}。若 A 包含零元，設 a=0，則 bc\neq 0，將 b 或 c 改成 0，如此製造一零列或零行即可達到目的 (但不論改變 d，仍然有 \det A'=\det A)。下面我們使用行列式運算公式和矩陣行 (列) 空間分析來推導 n 階行列式的「一元滅絕法」。

 
為便利說明，先考慮 3\times 3 階可逆矩陣 A。寫出 \det A 的餘因子展開式 (見“行列式的運算公式與性質”)，若針對第一列展開 (任一列或行皆可)，可得

\begin{aligned} \det A&=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix} a_{22}&a_{23}\\ a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix} a_{21}&a_{23}\\ a_{31}&a_{33} \end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix} a_{21}&a_{22}\\ a_{31}&a_{32} \end{vmatrix}\\ &=a_{11}c_{11}+a_{12}c_{12}+a_{13}c_{13}, \end{aligned}

其中 c_{ij} 是 a_{ij} 的餘因子 (cofactor)。因為 \det A\neq 0，上式中至少有一餘因子不為零。我們以一個例子解說滅絕行列式的運算過程。考慮

A=\begin{bmatrix} 1&2&3\\ 1&4&5\\ 3&1&2 \end{bmatrix}，

令變數 x 取代 a_{13}(=3)，並設

0=\begin{vmatrix} 1&2&x\\ 1&4&5\\ 3&1&2 \end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix} 4&5\\ 1&2 \end{vmatrix}-2\cdot\begin{vmatrix} 1&5\\ 3&2 \end{vmatrix}+x\cdot\begin{vmatrix} 1&4\\ 3&1 \end{vmatrix}=29-11x，

解出 x=29/11，即得不可逆矩陣

A'=\begin{bmatrix} 1&2&\frac{29}{11}\\ 1&4&5\\ 3&1&2 \end{bmatrix}。

以上過程很容易推廣至 n\times n 階可逆矩陣 A。若 c_{pq}\neq 0，將 a_{pq} 改為

\displaystyle a_{pq}'=-\frac{\sum_{k=1,k\neq q}^n a_{pk}c_{pk}}{c_{pq}}，

如此便可一舉殲滅行列式 \det A'。

 
接下來介紹一個摧毀線性獨立行向量集的攻擊方法。寫出 A 的行向量表達式 A=\begin{bmatrix} \mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_n \end{bmatrix}。任選 A 中 n-1 個行向量可擴張一子空間，但為了方便，以下考慮 \mathcal{W}=\mathrm{span}\{\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_{n-1}\}。可逆矩陣 A 意味 \{\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n\} 是一線性獨立集，即知 \dim\mathcal{W}=n-1，換句話說，\mathcal{W} 是一個穿越原點並將 \mathbb{R}^n 分割兩半的超平面。令 \mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n 代表 \mathbb{R}^n 的標準基底向量，這裡 \mathbf{e}_i 的第 i 元是 1，其他元是 0。從幾何上來看，超平面 \mathcal{W} 之外必存在至少一個基向量，設為 \mathbf{e}_p，則 \{\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_{n-1},\mathbf{e}_p\} 構成 \mathbb{R}^n 的一組基底。因此，\mathbf{a}_n 有唯一表示式：

\mathbf{a}_n=c_1\mathbf{a}_1+\cdots+c_{n-1}\mathbf{a}_{n-1}+c\mathbf{e}_p，

即得

\mathbf{a}_n-c\mathbf{e}_p=c_1\mathbf{a}_1+\cdots+c_{n-1}\mathbf{a}_{n-1}。

令 A'=\begin{bmatrix} \mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_{n-1}&\mathbf{a}_n-c\mathbf{e}_p \end{bmatrix}，其中 A' 的 (p,n) 元是 a_{pn}-c，其餘各元與 A 相同。上式指出 A' 有線性相關的行向量集，證明 \det A'=0。以上推導也適用於列向量，這個工作就留給讀者完成。

 
最後用上例展示以一元摧毀線性獨立行向量集的演算過程。如欲替換 a_{13}，設

\begin{bmatrix} 3\\ 5\\ 2 \end{bmatrix}=c_1\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 3 \end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix} 2\\ 4\\ 1 \end{bmatrix}+c\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}。

接著要解出 c，寫出增廣矩陣並化簡，可得

\begin{bmatrix} 1&2&1&\vline&3\\ 1&4&0&\vline&5\\ 3&1&0&\vline&2 \end{bmatrix}\to\left[\!\!\begin{array}{crrcr} 1&2&1&\vline&3\\ 0&2&-1&\vline&2\\ 0&-5&-3&\vline&-7 \end{array}\!\!\right]\to\left[\!\!\begin{array}{ccrcr} 1&2&1&\vline&3\\ 0&2&-1&\vline&2\\ 0&0&-11&\vline&-4 \end{array}\!\!\right]。

最底列表示 -11c=-4，故 c=4/11。所求的不可逆矩陣即為

A'=\begin{bmatrix} 1&2&3-\frac{4}{11}\\ 1&4&5\\ 3&1&2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&2&\frac{29}{11}\\ 1&4&5\\ 3&1&2 \end{bmatrix}。

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