行列式之一元滅絕法

本文的閱讀等級:初級

A=[a_{ij}] 為一 n\times n 階實矩陣。將 A(p,q)a_{pq}a_{pq}' 取代,其餘元維持不變,稱新矩陣為 A'。那麼對於每一可逆矩陣 A,是否總是存在一元 a_{pq}' 使得 A' 不可逆,即 \det A'=0?明顯地,當 n=1,只要用 0 取代 A 的唯一元即可。當 n=2,令 A=\begin{bmatrix}  a&b\\  c&d  \end{bmatrix}\det A=ad-bc\neq 0。若 A 不含零元,適當地改變 A 的任何一個元都可消滅行列式,譬如,A'=\begin{bmatrix}  bc/d&b\\  c&d  \end{bmatrix}。若 A 包含零元,設 a=0,則 bc\neq 0,將 bc 改成 0,如此製造一零列或零行即可達到目的 (但不論改變 d,仍然有 \det A'=\det A)。下面我們使用行列式運算公式和矩陣行 (列) 空間分析來推導 n 階行列式的「一元滅絕法」。

 
為便利說明,先考慮 3\times 3 階可逆矩陣 A。寫出 \det A 的餘因子展開式 (見“行列式的運算公式與性質”),若針對第一列展開 (任一列或行皆可),可得

\begin{aligned}  \det A&=\begin{vmatrix}  a_{11}&a_{12}&a_{13}\\  a_{21}&a_{22}&a_{23}\\  a_{31}&a_{32}&a_{33}  \end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix}  a_{22}&a_{23}\\  a_{32}&a_{33}  \end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}  a_{21}&a_{23}\\  a_{31}&a_{33}  \end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}  a_{21}&a_{22}\\  a_{31}&a_{32}  \end{vmatrix}\\  &=a_{11}c_{11}+a_{12}c_{12}+a_{13}c_{13},  \end{aligned}

其中 c_{ij}a_{ij} 的餘因子 (cofactor)。因為 \det A\neq 0,上式中至少有一餘因子不為零。我們以一個例子解說滅絕行列式的運算過程。考慮

A=\begin{bmatrix}  1&2&3\\  1&4&5\\  3&1&2  \end{bmatrix}

令變數 x 取代 a_{13}(=3),並設

0=\begin{vmatrix}  1&2&x\\  1&4&5\\  3&1&2  \end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}  4&5\\  1&2  \end{vmatrix}-2\cdot\begin{vmatrix}  1&5\\  3&2  \end{vmatrix}+x\cdot\begin{vmatrix}  1&4\\  3&1  \end{vmatrix}=29-11x

解出 x=29/11,即得不可逆矩陣

A'=\begin{bmatrix}  1&2&\frac{29}{11}\\  1&4&5\\  3&1&2  \end{bmatrix}

以上過程很容易推廣至 n\times n 階可逆矩陣 A。若 c_{pq}\neq 0,將 a_{pq} 改為

\displaystyle  a_{pq}'=-\frac{\sum_{k=1,k\neq q}^n a_{pk}c_{pk}}{c_{pq}}

如此便可一舉殲滅行列式 \det A'

 
接下來介紹一個摧毀線性獨立行向量集的攻擊方法。寫出 A 的行向量表達式 A=\begin{bmatrix}  \mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_n  \end{bmatrix}。任選 An-1 個行向量可擴張一子空間,但為了方便,以下考慮 \mathcal{W}=\mathrm{span}\{\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_{n-1}\}。可逆矩陣 A 意味 \{\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n\} 是一線性獨立集,即知 \dim\mathcal{W}=n-1,換句話說,\mathcal{W} 是一個穿越原點並將 \mathbb{R}^n 分割兩半的超平面。令 \mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n 代表 \mathbb{R}^n 的標準基底向量,這裡 \mathbf{e}_i 的第 i 元是 1,其他元是 0。從幾何上來看,超平面 \mathcal{W} 之外必存在至少一個基向量,設為 \mathbf{e}_p,則 \{\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_{n-1},\mathbf{e}_p\} 構成 \mathbb{R}^n 的一組基底。因此,\mathbf{a}_n 有唯一表示式:

\mathbf{a}_n=c_1\mathbf{a}_1+\cdots+c_{n-1}\mathbf{a}_{n-1}+c\mathbf{e}_p

即得

\mathbf{a}_n-c\mathbf{e}_p=c_1\mathbf{a}_1+\cdots+c_{n-1}\mathbf{a}_{n-1}

A'=\begin{bmatrix}  \mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_{n-1}&\mathbf{a}_n-c\mathbf{e}_p  \end{bmatrix},其中 A'(p,n) 元是 a_{pn}-c,其餘各元與 A 相同。上式指出 A' 有線性相關的行向量集,證明 \det A'=0。以上推導也適用於列向量,這個工作就留給讀者完成。

 
最後用上例展示以一元摧毀線性獨立行向量集的演算過程。如欲替換 a_{13},設

\begin{bmatrix}  3\\  5\\  2  \end{bmatrix}=c_1\begin{bmatrix}  1\\  1\\  3  \end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix}  2\\  4\\  1  \end{bmatrix}+c\begin{bmatrix}  1\\  0\\  0  \end{bmatrix}

接著要解出 c,寫出增廣矩陣並化簡,可得

\begin{bmatrix}  1&2&1&\vline&3\\  1&4&0&\vline&5\\  3&1&0&\vline&2  \end{bmatrix}\to\left[\!\!\begin{array}{crrcr}  1&2&1&\vline&3\\  0&2&-1&\vline&2\\  0&-5&-3&\vline&-7  \end{array}\!\!\right]\to\left[\!\!\begin{array}{ccrcr}  1&2&1&\vline&3\\  0&2&-1&\vline&2\\  0&0&-11&\vline&-4  \end{array}\!\!\right]

最底列表示 -11c=-4,故 c=4/11。所求的不可逆矩陣即為

A'=\begin{bmatrix}  1&2&3-\frac{4}{11}\\  1&4&5\\  3&1&2  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  1&2&\frac{29}{11}\\  1&4&5\\  3&1&2  \end{bmatrix}

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