線性變換與矩陣的用語比較

本文的閱讀等級:初級

在線性代數中,線性變換 (線性映射) 是矩陣的一種抽象描述,矩陣則是線性變換的具體實現。令 T:\mathcal{V}\to\mathcal{W} 是一個從向量空間 \mathcal{V} 映至向量空間 \mathcal{W} 的變換,其中 \mathcal{V} 稱為定義域 (domain),\mathcal{W} 稱為到達域 (codomain)。每一個向量 \mathbf{x}\in\mathcal{V} 經由 T 映至 \mathcal{W} 的一個向量 T(\mathbf{x}),稱為 \mathbf{x} 的像 (image)。對於任何 \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathcal{V} 與純量 c[1],如果 T 滿足

\begin{aligned}  T(\mathbf{x}+\mathbf{y})&=T(\mathbf{x})+T(\mathbf{y})\\  T(c\mathbf{x})&=cT(\mathbf{x}),\end{aligned}

T 稱為一個線性變換。若 \mathcal{V}=\mathcal{W}T:\mathcal{V}\to\mathcal{V} 也稱為線性算子 (linear operator)。假設 \mathcal{V}\mathcal{W} 是有限維向量空間,\dim\mathcal{V} = n\dim\mathcal{W}=m。令 \boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\gamma} 分別為向量空間 \mathcal{V}\mathcal{W} 的基底。任一線性變換 T:\mathcal{V}\to\mathcal{W} 可用矩陣乘法表示如下 (見“線性變換表示矩陣”):

\begin{bmatrix}  T(\mathbf{x})  \end{bmatrix}_{ \boldsymbol{\gamma}}=\begin{bmatrix}  T(\boldsymbol{\beta})  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix}  \mathbf{x}  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}

其中 \begin{bmatrix}  \mathbf{x}  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}} 是向量 \mathbf{x}\in\mathcal{V} 參考 \boldsymbol{\beta}n 維座標向量,\begin{bmatrix}  T(\mathbf{x})  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}} 是像 T(\mathbf{x})\in\mathcal{W} 參考 \boldsymbol{\gamma}m 維座標向量,\begin{bmatrix}  T(\boldsymbol{\beta})  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}} 稱為線性變換 T 參考基底 \boldsymbol{\beta}-\boldsymbol{\gamma}m\times n 階表示矩陣。反過來說,給定 m\times n 階複矩陣 AT(\mathbf{x})=A\mathbf{x} 是一個從 \mathcal{V}=\mathbb{C}^n 映至 \mathcal{W}=\mathbb{C}^m 的線性變換,因為對於 \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{C}^nc\in\mathbb{C}

\begin{aligned}  A(\mathbf{x}+\mathbf{y})&=A\mathbf{x}+A\mathbf{y}\\  A(c\mathbf{x})&=cA\mathbf{x}.\end{aligned}

因此,矩陣與定義於有限維向量空間的線性變換可謂一體兩面。儘管線性變換和矩陣講述的是同一件事 (精確的說法是同構,見“同構的向量空間”),但它們卻有各自的專用術語,下面分別就子空間、維數和映射性質加以說明比較。

 
線性變換

線性變換 T:\mathcal{V}\to\mathcal{W} 有兩個重要的子空間:值域 (range) 與核 (kernel)。值域 R(T),或記為 \text{ran}(T)\text{im}(T),是 T 的所有像所形成的集合:

R(T)=\{T(\mathbf{x})\vert\mathbf{x}\in\mathcal{V}\}

而核 \mathrm{ker}(T)T 所消滅的向量所形成的集合:

\mathrm{ker}(T)=\{\mathbf{x}\in\mathcal{V}\vert T(\mathbf{x})=\mathbf{0}\}

不難證明 R(T) 是到達域 \mathcal{W} 的一個子空間,\mathrm{ker}(T) 是定義域 \mathcal{V} 的一個子空間,兩者的維數具有下列關係 (見下圖):

\dim\mathcal{V}=\dim\mathrm{ker}(T)+\dim R(T)

其中 \mathrm{rank}T=\dim R(T) 稱為 T 的秩 (rank),\mathrm{nullity}T=\dim\mathrm{ker}(T) 稱為 T 的零度 (nullity),故上式也稱為秩—零度定理 (見“線性代數基本定理 (一)”)。

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值域、核與秩─零度定理

 
我們可以根據子空間的映射界定線性變換的一些性質:

  • R(T)=\mathcal{W},即 \mathrm{rank}T=\dim\mathcal{W},值域充滿整個到達域,T 稱為滿射 (onto 或 surjective)。
  • 若對於任意 \mathbf{x}\neq\mathbf{y},恆有 T(\mathbf{x})\neq T(\mathbf{y}),或者說 T(\mathbf{x})=T(\mathbf{y}) 蘊含 \mathbf{x}=\mathbf{y},則 T 稱為一對一 (one-to-one) 或單射 (injective)。下面是我們經常使用的一對一界定性質:若 \mathrm{ker}(T)=\{\mathbf{0}\},則 T 是一對一,反之亦然。理由如下:設 \mathrm{ker}(T)=\{\mathbf{0}\}。若 T(\mathbf{x})=T(\mathbf{y})=\mathbf{b},則 T(\mathbf{x}-\mathbf{y})=T(\mathbf{x})-T(\mathbf{y})=\mathbf{b}-\mathbf{b}=\mathbf{0},故 \mathbf{x}=\mathbf{y},證得 T 是一對一。反之,設 T 是一對一。因為已經有 T(\mathbf{0})=T(\mathbf{x}-\mathbf{x})=T(\mathbf{x})-T(\mathbf{x})=\mathbf{0},由 T(\mathbf{x})=\mathbf{0} 可推論 \mathbf{x}=\mathbf{0},即知 \mathrm{ker}(T)=\{\mathbf{0}\}。據此,若 T 是一對一,則 \dim\mathrm{ker}(T)=0,由秩─零度定理可知 \mathrm{rank}T=\dim\mathcal{V}
  • T 同時是滿射和一對一,則 \mathrm{rank}T=\dim\mathcal{W}=\dim\mathcal{V},稱為同構 (isomorphism),這時 T^{-1} 唯一存在。

 
矩陣

以下令 T(\mathbf{x})=A\mathbf{x},或記為 A:\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}^m,其中 A 是一個 m\times n 階矩陣,\mathbb{C}^n 是定義域,\mathbb{C}^m 是到達域。用矩陣語言來說,值域 R(T) 即為 A 的行空間 (column space)[2]

C(A)=\{A\mathbf{x}\vert\mathbf{x}\in\mathbb{C}^n\}

\mathrm{ker}(T) 即為 A 的零空間 (nullspace):

N(A)=\{\mathbf{x}\in\mathbb{C}^n\vert A\mathbf{x}=\mathbf{0}\}

行空間 C(A)\mathbb{C}^m 的一個子空間,零空間 N(A)\mathbb{C}^n 的一個子空間。矩陣版的秩─零度定理如下:

n=\dim N(A)+\dim C(A)

其中 \mathrm{rank}A=\dim C(A) 稱為 A 的秩,\mathrm{nullity}A=\dim N(A) 稱為 A 的零度。

 
類似線性變換,矩陣的子空間映射性質如下:

  • A 是滿射,則 C(A)=\mathbb{C}^m,就有 \mathrm{rank}A=m,這時 A 的線性獨立列向量總數等於列數 m,稱為滿列秩 (full row rank)。
  • A 是一對一,則 N(A)=\{\mathbf{0}\},秩─零度定理表明 \mathrm{rank}A=n,這時 C(A^T)=\mathbb{C}^n (因為 \dim C(A^T)=\dim C(A)=\mathrm{rank}A,見“行秩=列秩”),A 的線性獨立行向量總數等於行數 n ,稱為滿行秩 (full column rank)。
  • A 同時是滿列秩和滿行秩,則 \mathrm{rank}A=m=n,稱為滿秩,換句話說,A 是一個可逆矩陣。

 
用語比較

本文介紹的線性變換與矩陣的對應用語整理於下。


T:\mathcal{V}\to\mathcal{W} 是一個線性變換。

  1. 值域: R(T)=\{T(\mathbf{x})\vert\mathbf{x}\in\mathcal{V}\}\subseteq\mathcal{W}
  2. 核: \mathrm{ker}(T)=\{\mathbf{x}\in\mathcal{V}\vert T(\mathbf{x})=\mathbf{0}\}\subseteq\mathcal{V}
  3. 秩: \mathrm{rank}T=\dim R(T)
  4. 零度: \mathrm{nullity}T=\dim \mathrm{ker}(T)
  5. 滿射: R(T)=\mathcal{W},即 \mathrm{rank}T=\dim\mathcal{W}
  6. 一對一 (單射): \mathrm{ker}(T)=\{\mathbf{0}\},即 \mathrm{rank}T=\dim\mathcal{V}
  7. 同構: \mathrm{rank}T=\dim\mathcal{W}=\dim\mathcal{V}

A 是一個 m\times n 階矩陣,即 A:\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}^m

  1. 行空間: C(A)=\{A\mathbf{x}\vert\mathbf{x}\in\mathbb{C}^n\}\subseteq\mathbb{C}^m
  2. 零空間: N(A)=\{\mathbf{x}\in\mathbb{C}^n\vert A\mathbf{x}=\mathbf{0}\}\subseteq\mathbb{C}^n
  3. 秩: \mathrm{rank}A=\dim C(A)
  4. 零度: \mathrm{nullity}A=\dim N(A)
  5. 滿列秩: C(A)=\mathbb{C}^m,即 \mathrm{rank}A=m
  6. 滿行秩: N(A)=\{\mathbf{0}\},即 \mathrm{rank}A=n
  7. 滿秩: \mathrm{rank}A=m=n

 
註解
[1] 如果向量空間 \mathcal{V}\mathcal{W} 佈於一個體 (field) \mathcal{F},譬如,實數系或複數系,則純量 c\in\mathcal{F}
[2] 在台灣,橫向稱為列,縱向稱為行。在中國大陸,橫向稱為行,縱向稱為列。

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3 Responses to 線性變換與矩陣的用語比較

  1. Watt Lin 說道:

    感謝老師詳細的闡述,幫助我建立觀念。
    想請教老師,這次的主題,與傅立葉變換,有沒有關聯?
    若有關聯,能否舉例說明?

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