## 高斯─約當法

1. 零列置於矩陣最底下。
2. 每列軸元的位置都位於其上方各列軸元的右側。
3. 軸元等於 $1$
4. 軸元其上方與下方的元皆為零。

$\left[\!\begin{array}{ccccc} 1 & \square & 0 & 0 & \square \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \square \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \square \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\!\right],~~ \left[\!\begin{array}{ccccccc} 0 & 1 & 0 & \square & 0 & 0 & \square \\ 0 & 0 & 1 & \square & 0 & 0 & \square \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \square \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \square \end{array}\!\right]$

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) From Wikimedia

$\left[\!\begin{array}{rrrrcr} 0 & 2 & -4 & 1 &\vline& -6 \\ -1 & 0 & -5 & 1 &\vline& -4 \\ 1 & 2 & 1 & 0 &\vline& -2 \\ 2 & -4 & 18 & -7 &\vline& 14 \end{array}\!\right]\to\left[\!\!\begin{array}{rrrrcr} -1 & 0 & -5 & 1 &\vline& -4 \\ 0 & 2 & -4 & 1 &\vline& -6 \\ 0 & 0 & 0 & -3 &\vline& -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 &\vline& 0 \end{array}\!\!\right]$

$\begin{array}{llll} &\left[\!\begin{array}{rrrrcr} -1 & 0 & -5 & 1 &\vline& -4 \\ 0 & 2 & -4 & 1 &\vline& -6 \\ 0 & 0 & 0 & -3 &\vline& -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 &\vline& 0 \end{array}\!\right]&\rightarrow & \left[\!\begin{array}{rrrrcr} -1 & 0 & -5 & 1 &\vline& -4 \\ 0 & 2 & -4 & 1 &\vline& -6 \\ 0 & 0 & 0 & 1 &\vline& 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 &\vline& 0 \end{array}\!\right] \\ &&\\ \rightarrow &\left[\!\begin{array}{rrrrcr} -1 & 0 & -5 & 1 &\vline& -4 \\ 0 & 2 & -4 & 0 &\vline& -8 \\ 0 & 0 & 0 & 1 &\vline& 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 &\vline& 0 \end{array}\!\right]&\rightarrow & \left[\!\begin{array}{rrrrcr} -1 & 0 & -5 & 0 &\vline& -6 \\ 0 & 2 & -4 & 0 &\vline& -8 \\ 0 & 0 & 0 & 1 &\vline& 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 &\vline& 0 \end{array}\!\right] \\ &&\\ \rightarrow &\left[\!\begin{array}{rrrrcr} -1 & 0 & -5 & 0 &\vline& -6 \\ 0 & 1 & -2 & 0 &\vline& -4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 &\vline& 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 &\vline& 0 \end{array}\!\right]&\rightarrow & \left[\!\begin{array}{ccrccr} 1 & 0 & 5 & 0 &\vline& 6 \\ 0 & 1 & -2 & 0 &\vline& -4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 &\vline& 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 &\vline& 0 \end{array}\!\right] \end{array}$

\begin{aligned} x_1+5x_3&=6\\ x_2-2x_3&=-4\\ x_4&=2. \end{aligned}

$x_3=\alpha$，移項後立刻得到通解

\begin{aligned} x_1&=-5\alpha+6\\ x_2&=2\alpha-4\\ x_3&=\alpha\\ x_4&=2. \end{aligned}

$A=[a_{ij}]$$n\times n$ 階矩陣，$b=[b_i]$$n$ 維向量，寫出增廣矩陣

$\begin{bmatrix} A\vert\mathbf{b} \end{bmatrix}=\left[\!\!\begin{array}{cccccc} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&\vline&b_1\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&\vline&b_2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vline&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&\vline&b_n \end{array}\!\!\right]$

$A$ 是可逆的，則 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 恆有唯一解，基本列運算最終可將增廣矩陣化簡為

$\begin{bmatrix} I\vert\mathbf{c} \end{bmatrix}=\left[\!\!\begin{array}{cccccc} 1&0&\cdots&0&\vline&c_1\\ 0&1&\cdots&0&\vline&c_2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vline&\vdots\\ 0&0&\cdots&1&\vline&c_n \end{array}\!\!\right]$

$AX=A\begin{bmatrix} \mathbf{x}_1&\cdots&\mathbf{x}_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A\mathbf{x}_1&\cdots&A\mathbf{x}_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{e}_1&\cdots&\mathbf{e}_n \end{bmatrix}=I$

\begin{aligned} \begin{bmatrix} A\vert\mathbf{e}_1 \end{bmatrix}&\xrightarrow[]{~~\mathrm{Gauss-Jordan}~~}\begin{bmatrix} I\vert\mathbf{x}_1 \end{bmatrix}\\ &\vdots\\ \begin{bmatrix} A\vert\mathbf{e}_n \end{bmatrix}&\xrightarrow[]{~~\mathrm{Gauss-Jordan}~~}\begin{bmatrix} I\vert\mathbf{x}_n \end{bmatrix}.\end{aligned}

$\begin{bmatrix} A\!\!&\vert&\!\! I \end{bmatrix}\xrightarrow[]{~~\mathrm{Gauss-Jordan}~~}\begin{bmatrix} I\!\!&\vert&\!\! X \end{bmatrix}$

$A=\left[\!\!\begin{array}{ccc} 1&1&0\\ 2&3&3\\ 2&2&1 \end{array}\!\!\right]$

$\begin{array}{rlll} \begin{bmatrix} A\!\!&\vert&\!\! I \end{bmatrix}=&\left[\!\!\begin{array}{rrrcrrr} 1 & 1 & 0 &\vline& 1 &0& 0 \\ 2 & 3 & 3 &\vline& 0 &1& 0 \\ 2 & 2 & 1 &\vline& 0 &0& 1 \end{array}\!\!\right]&\rightarrow & \left[\!\begin{array}{rrrcrrr} 1 & 1 & 0 &\vline& 1 &0& 0 \\ 0 & 1 & 3 &\vline& -2 &1& 0 \\ 0 & 0 & 1 &\vline& -2 &0& 1 \end{array}\!\right] \\ &&&\\ \rightarrow &\left[\!\begin{array}{rrrcrrr} 1 & 1 & 0 &\vline& 1 &0& 0 \\ 0 & 1 & 0 &\vline& 4 &1& -3 \\ 0 & 0 & 1 &\vline& -2 &0& 1 \end{array}\!\right]&\rightarrow & \left[\!\begin{array}{rrrcrrr} 1 & 0 & 0 &\vline& -3 &-1& 3 \\ 0 & 1 & 0 &\vline& 4 &1& -3 \\ 0 & 0 & 1 &\vline& -2 &0& 1 \end{array}\!\right]\end{array}$

$A^{-1}=\left[\!\!\begin{array}{rrr} -3&-1&3\\ 4&1&-3\\ -2&0&1 \end{array}\!\!\right]$

[1] 高斯─約當法的約當常被人誤認為是法國數學家 Marie Ennemond Camille Jordan (1838-1922)，矩陣分析理論中 Jordan 典型形式即因他而名。事實上，高斯─約當法是由德國測地學家 Wihelm Jordan (1842-1899) 於公元1888年提出。

### 4 Responses to 高斯─約當法

1. 老羅 說道：

增廣矩陣，
$\begin{bmatrix} 0 & 2 & -4 & 1 & -6 \\ -1& 0 & -5 & 1 & -4 \\ 1 & 2 &1 & 0 &-2 \\ 2 & -4 & 18 & 7 & 14 \end{bmatrix}$
高斯消去法後的梯型矩陣是，
$\begin{bmatrix} -1 & 0 & -5 & 1 & -4 \\ 0 & 2 & -4 & 1 & -6 \\ 0& 0 & 0 & 11 & -6 \\ 0& 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0 & 2 & -4 & 1 & -6 \\ -1& 0 & -5 & 1 & -4 \\ 1 & 2 &1 & 0 &-2 \\ 2 & -4 & 18 & -7 & 14 \end{bmatrix}$
的高斯消去法才是文中的梯形矩陣

• ccjou 說道：

謝謝，已訂正。

2. Yufeng 說道：

周老師，有個小錯誤，“但因為這 n 個增廣矩陣 $\begin{bmatrix} A\vert\mathbf{e}_1 \end{bmatrix},\ldots,\begin{bmatrix} A\vert\mathbf{e}_3 \end{bmatrix}$”， 最後一個下標應為 $n$

• ccjou 說道：

感謝指正，已修訂。