每週問題 August 11, 2014

Posted on 08/11/2014 by ccjou

這是關於 Gramian 矩陣 A^TA 和 AA^T 的正定性判別問題，修改自“台聯大2013年碩士班招生考試試題 (電機類工程數學C)”。

Consider an m\times n real matrix A with linearly independent columns, and m>n. Which of the following statements are true?

(a) A^TA is positive definite.
(b) AA^T is positive definite.
(c) The column space of A is spanned by all the eigenvectors of AA^T.
(d) The row space of A is spanned by all the eigenvectors of A^TA.
(e) A and AA^TA have the same column space.

 
參考解答：

(a) 對。若矩陣 A 有線性獨立的行向量 (column vector)，則 A\mathbf{x}=\mathbf{0} 推得 \mathbf{x}=\mathbf{0}。所以，對於任一非零向量 \mathbf{x}，\mathbf{x}^TA^TA\mathbf{x}=(A\mathbf{x})^T(A\mathbf{x})=\Vert A\mathbf{x}\Vert^2>0，證明 A^TA 是一正定矩陣。

(b) 錯。例如，A=\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1\\ 0&0 \end{bmatrix}，但 AA^T=\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix} 並非正定矩陣，因為 \mathbf{x}=(0,0,1)^T 使得 \mathbf{x}^TAA^T\mathbf{x}=0。精確地說，AA^T 是半正定矩陣。

(c) 錯。如 (b) 的例子，A 的行空間由 (1,0,0)^T 和 (0,1,0)^T 生成，但 AA^T 所對應特徵值 1,1,0 的特徵向量分別為 (1,0,0)^T，(0,1,0)^T 和 (0,0,1)^T，它們生成完整的 \mathbb{R}^3。

(d) 對。矩陣 A 的列空間是 \mathbb{R}^n。另一方面，n\times n 階正定矩陣 A^TA 可正交對角化為 A^TA=QDQ^T，其中 D 是特徵值構成的對角矩陣，Q 是特徵向量構成的正交矩陣，滿足 QQ^T=Q^TQ=I_n，表明 Q 的行向量生成 \mathbb{R}^n。

(e) 對。對於任一 n\times n 階矩陣 B，C(AB)\subseteq C(A)，其中 C(A) 代表 A 的行空間。因此，C(AA^TA)\subseteq C(A)，但 A^TA 是一可逆矩陣 (正定矩陣必定可逆)，推論 \text{rank}(AA^TA)=\text{rank}A，故證明 C(AA^TA)=C(A)。

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