每週問題 August 11, 2014

這是關於 Gramian 矩陣 A^TAAA^T 的正定性判別問題,修改自“台聯大2013年碩士班招生考試試題 (電機類工程數學C)”。

Consider an m\times n real matrix A with linearly independent columns, and m>n. Which of the following statements are true?

(a) A^TA is positive definite.
(b) AA^T is positive definite.
(c) The column space of A is spanned by all the eigenvectors of AA^T.
(d) The row space of A is spanned by all the eigenvectors of A^TA.
(e) A and AA^TA have the same column space.

 
參考解答:

(a) 對。若矩陣 A 有線性獨立的行向量 (column vector),則 A\mathbf{x}=\mathbf{0} 推得 \mathbf{x}=\mathbf{0}。所以,對於任一非零向量 \mathbf{x}\mathbf{x}^TA^TA\mathbf{x}=(A\mathbf{x})^T(A\mathbf{x})=\Vert A\mathbf{x}\Vert^2>0,證明 A^TA 是一正定矩陣。

(b) 錯。例如,A=\begin{bmatrix}  1&0\\  0&1\\  0&0  \end{bmatrix},但 AA^T=\begin{bmatrix}  1&0&0\\  0&1&0\\  0&0&0  \end{bmatrix} 並非正定矩陣,因為 \mathbf{x}=(0,0,1)^T 使得 \mathbf{x}^TAA^T\mathbf{x}=0。精確地說,AA^T 是半正定矩陣。

(c) 錯。如 (b) 的例子,A 的行空間由 (1,0,0)^T(0,1,0)^T 生成,但 AA^T 所對應特徵值 1,1,0 的特徵向量分別為 (1,0,0)^T(0,1,0)^T(0,0,1)^T,它們生成完整的 \mathbb{R}^3

(d) 對。矩陣 A 的列空間是 \mathbb{R}^n。另一方面,n\times n 階正定矩陣 A^TA 可正交對角化為 A^TA=QDQ^T,其中 D 是特徵值構成的對角矩陣,Q 是特徵向量構成的正交矩陣,滿足 QQ^T=Q^TQ=I_n,表明 Q 的行向量生成 \mathbb{R}^n

(e) 對。對於任一 n\times n 階矩陣 BC(AB)\subseteq C(A),其中 C(A) 代表 A 的行空間。因此,C(AA^TA)\subseteq C(A),但 A^TA 是一可逆矩陣 (正定矩陣必定可逆),推論 \text{rank}(AA^TA)=\text{rank}A,故證明 C(AA^TA)=C(A)

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