特殊矩陣 (9)：Hermitian 矩陣

Posted on 01/05/2010 by ccjou

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實對稱矩陣滿足 A^T=A，是所有實矩陣中應用最廣泛的特殊矩陣。實對稱矩陣的特徵值皆為實數，且存在完整的單範正交的 (orthonormal) 實特徵向量。據此，實對稱矩陣可正交對角化為 A=Q\Lambda Q^{T}，其中 \Lambda 是特徵值構成的對角矩陣，Q 是特徵向量構成的正交矩陣 (orthogonal matrix)，滿足 Q^T=Q^{-1}。複矩陣也存在與實對稱矩陣相應的美好矩陣，稱為 Hermitian 矩陣或共軛對稱矩陣，也叫自共軛矩陣。關於複矩陣的基礎介紹，請見“從實數系到複數系”。

Charles Hermite (1822-1901) From http://markandrewholmes.com/c_hermite.jpg

 
對應實矩陣的轉置運算 A^T，複矩陣則為共軛轉置，也就是包含共軛和轉置兩個運算 \overline{A}^T，常記作 A^{\ast} 或 A^H。例如，

A=\begin{bmatrix} 1&2-3i\\ 0&1+i \end{bmatrix}，

A 的共軛轉置為

A^{\ast}=\begin{bmatrix} 1&0\\ 2+3i&1-i \end{bmatrix}。

若 A^{\ast}=A，我們稱它是 Hermitian 矩陣，下為一例：

A=\begin{bmatrix} 2&1-i&3i\\ 1+i&0&2+2i\\ -3i&2-2i&5 \end{bmatrix}。

注意，Hermitian 矩陣 A=[a_{ij}] 的主對角元為實數，因為 \overline{a_{ii}}=a_{ii}，非主對角元 a_{ij} 和 a_{ji} 則為一組共軛複數，a_{ij}=\overline{a_{ji}}。很明顯，實 Hermitian 矩陣就是實對稱矩陣。法國數學家埃爾米特 (Charles Hermite) 於1855年證明若 A^{\ast}=A，則 A 的特徵值皆為實數 (見下面性質二)，今天我們便稱這類矩陣為 Hermitian。

 
下面討論 Hermitian 矩陣最重要的四個性質，這些性質為擴展 Hermitian 矩陣的應用提供強大的火力支援。

 
性質一：若 A 是 Hermitian 矩陣，對於任意向量 \mathbf{x}\in\mathbb{C}^n，\mathbf{x}^{\ast}A\mathbf{x} 是實數。

先掌握這個重點：\mathbf{x}^{\ast}A\mathbf{x} 是一個純量，可視為一個 1\times 1 階矩陣。使用已知條件 A^{\ast}=A，計算

(\mathbf{x}^{\ast}A\mathbf{x})^{\ast}=\mathbf{x}^{\ast}A^{\ast}(\mathbf{x}^{\ast})^{\ast}=\mathbf{x}^{\ast}A\mathbf{x}。

既然 \mathbf{x}^{\ast}A\mathbf{x} 與其共軛相等，可推論 \mathbf{x}^{\ast}A\mathbf{x} 必為實數。

 
考慮下例：

A=\begin{bmatrix} 4&-1+i\\ -1-i&3 \end{bmatrix}，

展開 \mathbf{x}^{\ast}A\mathbf{x}：

\begin{bmatrix} \overline{x_1}&\overline{x_2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4&-1+i\\ -1-i&3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix}=4\overline{x_1}x_1+3\overline{x_2}x_2+(-1+i)\overline{x_1}x_2+(-1-i)x_1\overline{x_2}，

其中來自於主對角元的前面兩項 \overline{x_1}x_1 和 \overline{x_2}x_2 皆是實數，而來自非主對角元的後面兩項互為共軛，該兩項之和消去虛部，故亦為實數。

 
值得注意的是，性質一的反向陳述也為真，亦即若對於任意 \mathbf{x}\in\mathbb{C}^n，\mathbf{x}^{\ast}A\mathbf{x} 是實數，則 A 是 Hermitian 矩陣。證明於下。根據假設條件，對於任意 \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{C}^n，下式為實數：

(\mathbf{x}+\mathbf{y})^{\ast}A(\mathbf{x}+\mathbf{y})=(\mathbf{x}^{\ast}A\mathbf{x}+\mathbf{y}^{\ast}A\mathbf{y})+(\mathbf{x}^{\ast}A\mathbf{y}+\mathbf{y}^{\ast}A\mathbf{x})，

又 \mathbf{x}^{\ast}A\mathbf{x}+\mathbf{y}^{\ast}A\mathbf{y} 是實數，剩下的證明步驟利用 \mathbf{x}^{\ast}A \mathbf{y}+\mathbf{y}^{\ast}A\mathbf{x} 是實數。令 \mathbf{e}_j=\begin{bmatrix} 0&\cdots&1\cdots&0\end{bmatrix}^T，其中第 j 元為 1，其餘各元皆為 0。若 \mathbf{x}=\mathbf{e}_j 且 \mathbf{y}=\mathbf{e}_k，則 \mathbf{x}^{\ast}A\mathbf{y}+\mathbf{y}^{\ast}A\mathbf{x}=a_{jk}+a_{kj} 為實數，即 \mathrm{Im}(a_{jk})=-\mathrm{Im}(a_{kj})。 若 \mathbf{x}=i\mathbf{e}_j 且 \mathbf{y}=\mathbf{e}_k，則 \mathbf{x}^{\ast}A\mathbf{y}+\mathbf{y}^{\ast}A\mathbf{x}=-ia_{jk}+ia_{kj} 為實數，即 \mathrm{Re}(a_{jk})=\mathrm{Re}(a_{kj})。合併以上結果，可推得 a_{jk}=\overline{a_{kj}}，因為 j 和 k 是任意的，也就有 A=A^{\ast}。

 
性質二：Hermitian 矩陣的特徵值皆為實數。

由性質一可推得性質二。假設特徵方程式為 A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}，\mathbf{x}\neq\mathbf{0}，等號兩側左乘 \mathbf{x}^{\ast}，就有 \mathbf{x}^{\ast}A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}^{\ast}\mathbf{x}。利用性質一，可知上式等號左邊 \mathbf{x}^{\ast}A\mathbf{x} 是實數，等號右邊 \mathbf{x}^\ast\mathbf{x}=\Vert\mathbf{x}\Vert^2 是非零向量 \mathbf{x} 的長度平方，故為一正數。因此，\lambda=\mathbf{x}^{\ast}A\mathbf{x}/\mathbf{x}^{\ast}\mathbf{x} 是實數。

 
上例 Hermitian 矩陣 A 有特徵多項式：

\begin{aligned} \begin{vmatrix} 4-\lambda&-1+i\\ -1-i&3-\lambda \end{vmatrix}&=\lambda^2-7\lambda+12-\vert -1+i\vert^2\\ &=\lambda^2-7\lambda+10\\ &=(\lambda-2)(\lambda-5),\end{aligned}

得知特徵值為 2 與 5。

 
性質三：Hermitian 矩陣對應相異特徵值的特徵向量互為正交。

設 Hermitian 矩陣 A 有相異實特徵值 \lambda 和 \mu，對應的特徵向量分別為 \mathbf{x} 和 \mathbf{y}。在 A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x} 同時左乘 \mathbf{y}^{\ast}，就有

\mathbf{y}^{\ast}A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{y}^{\ast}\mathbf{x}。

在 \mathbf{y}^{\ast}A^{\ast}=\mu\mathbf{y}^{\ast} 同時右乘 \mathbf{x}，

\mathbf{y}^{\ast}A^{\ast}\mathbf{x}=\mu\mathbf{y}^{\ast}\mathbf{x}，

並利用 A^{\ast}=A，上面兩式等號左邊相等，所以

\lambda\mathbf{y}^{\ast}\mathbf{x}=\mu\mathbf{y}^{\ast}\mathbf{x}。

但已知 \lambda\neq\mu，必定有 \mathbf{y}^{\ast}\mathbf{x}=0，\mathbf{y} 正交於 \mathbf{x}。

 
上例中，對應特徵值 2 和 5 的特徵向量分別是

\mathbf{x}=\begin{bmatrix} 1\\ 1+i \end{bmatrix},~\mathbf{y}=\begin{bmatrix} 1-i\\ -1 \end{bmatrix}，

直接計算確認

\mathbf{y}^{\ast}\mathbf{x}=\begin{bmatrix} 1+i&-1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ 1+i \end{bmatrix}=0。

 
性質四：Hermitian 矩陣的特徵值的代數重數等於幾何重數。

此性質等同於 Hermitian 矩陣不存在廣義特徵向量 (這個主題較為艱深，詳見“Jordan 形式大解讀之尋找廣義特徵向量”)。假設廣義特徵向量 \mathbf{x} 滿足 (A-\lambda I)^k\mathbf{x}=\mathbf{0}，我們想要證明 (A-\lambda I)\mathbf{x}=\mathbf{0}，也就是說，\mathbf{x} 是一般特徵向量。若 k=2，則有 (A-\lambda I)^2\mathbf{x}=\mathbf{0}，左乘 \mathbf{x}^\ast，可得

0=\mathbf{x}^\ast(A-\lambda I)^2\mathbf{x}=\mathbf{x}^\ast(A-\lambda I)^\ast(A-\lambda I)\mathbf{x}=\Vert(A-\lambda I)\mathbf{x}\Vert^2，

故 (A-\lambda I)\mathbf{x}=\mathbf{0}。使用歸納法。寫出

(A-\lambda I)^k\mathbf{x}=(A-\lambda I)^2(A-\lambda I)^{k-2}\mathbf{x}=\mathbf{0}。

令 \mathbf{z}=(A-\lambda I)^{k-2}\mathbf{x}。上式等於 (A-\lambda I)^2\mathbf{z}=\mathbf{0}，使用先前結果可知 (A-\lambda I)\mathbf{z}=\mathbf{0}，也就是 (A-\lambda I)^{k-1}\mathbf{x}=\mathbf{0}。重複歸納步驟即證得 (A-\lambda I)\mathbf{x}=\mathbf{0}。

 
使用性質二、三和四，我們可以推論 Hermitian 矩陣是可正交對角化的 (見“特殊矩陣 (2)：正規矩陣”)。以前例說明，先將特徵向量 \mathbf{x}，\mathbf{y} 予以正規化，使其長度等於 1。令

\displaystyle \mathbf{u}_1=\frac{\mathbf{x}}{(\mathbf{x}^{\ast}\mathbf{x})^{1/2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix} 1\\ 1+i \end{bmatrix}，

\displaystyle \mathbf{u}_2=\frac{\mathbf{y}}{(\mathbf{y}^{\ast}\mathbf{y})^{1/2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix} 1-i\\ -1 \end{bmatrix}。

定義 U 矩陣的行向量由單範正交特徵向量組成，如下：

\displaystyle U=\begin{bmatrix} \mathbf{u}_1&\mathbf{u}_2 \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix} 1&1-i\\ 1+i&-1 \end{bmatrix}。

矩陣 U 滿足 U^{\ast}U=I，即 U^{-1}=U^{\ast}，稱為么正矩陣或酉矩陣 (unitary matrix)。又設對角特徵值矩陣為

\Lambda=\begin{bmatrix} 2&0\\ 0&5 \end{bmatrix}。

由於 U 是可逆矩陣，特徵方程式的矩陣形式 AU=U\Lambda 可寫為分解式 \Lambda=U^{\ast}AU 或 A=U\Lambda U^{\ast}，這說明 Hermitian 矩陣是可么正對角化的 (unitarily diagonalizable)。

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