三次方程的求根公式

本文的閱讀等級：初級

公元1545年，義大利數學家卡當 (Gerolamo Cardano, 1501-1576) 出版了 Ars Magna，意為「偉大的技藝」，書中首度向世人公開三次方程的求根公式^[1]。本文介紹卡當公式解的推導過程，並以一個 $3\times 3$ 階矩陣的特徵值問題為例展示計算步驟。

Gerolamo Cardano (1501-1576) From http://www.uh.edu/engines/cardano.jpg

考慮一般實三次方程

$ax^3+bx^2+cx+d=0$ ，

其中 $a\neq 0$ 。為簡化代數運算，先將上式通除以 $a$ ，運用二次方程求解過程所使用的配方法，可得^[2]

$\displaystyle x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=\left(x+\frac{b}{3a}\right)^3+\frac{3ac-b^2}{3a^2}\left(x+\frac{b}{3a}\right)+\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}$ 。

令 $\displaystyle y=x+\frac{b}{3a}$ 。經過變數變換原方程式可改寫為

$y^3+py+q=0$ ，

其中

$\displaystyle p=\frac{3ac-b^2}{3a^2},~~~~q=\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}$ 。

接下來的問題是如何解出這個缺乏二次項的「不完全」三次方程。

考慮 $u+v$ 的三次展開式

$(u+v)^3=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3$ ，

提出公因式，可得

$(u+v)^3-3uv(u+v)-(u^3+v^3)=0$ 。

我們設想上式中 $u+v$ 即為 $y^3+py+q=0$ 的一個解，故兩式係數相同，就有

$\displaystyle p=-3uv,~~~~q=-u^3-v^3$ 。

表面上，事情變得更加複雜，但這正是卡當解法最令人激賞之處：以我們熟悉的二次方程的解替換三次方程的解。將上面兩式改寫成

$\displaystyle u^3+v^3=-q,~~~~u^3v^3=-\frac{p^3}{27}$ ，

利用根與係數的關係，可知 $u^3$ 和 $v^3$ 為下列二次方程的解：

$\displaystyle z^2+qz-\frac{p^3}{27}=0$ 。

令 $\rho_1$ 和 $\rho_2$ 代表此二次方程的解：

$\displaystyle \rho_1=-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+ \left(\frac{p}{3}\right)^3},~~~~ \rho_2=-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+ \left(\frac{p}{3}\right)^3}$ ，

故得 $u^3=\rho_1$ 和 $v^3=\rho_2$ 。注意 $u$ 和 $v$ 分別可能有三個解，如下：

$u=\sqrt[3]{\rho_1},~\omega\sqrt[3]{\rho_1},~\omega^2\sqrt[3]{\rho_1},$

$v=\sqrt[3]{\rho_2},~\omega\sqrt[3]{\rho_2},~\omega^2\sqrt[3]{\rho_2},$

其中

$\displaystyle\omega=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2},~~~i=\sqrt{-1},$

滿足 $\omega^3=1$ 與 $\omega^2+\omega+1=0$ ，且 $\omega^2=\overline{\omega}$ 。表面上， $u+v$ 共有 $9$ 種可能，但 $\displaystyle uv=-\frac{p}{3}$ 是實數，因此僅有下列三組解符合所求：

$\displaystyle\begin{aligned} y_1&=\sqrt[3]{\rho_1}+\sqrt[3]{\rho_2}\\ y_2&=\omega\sqrt[3]{\rho_1}+\overline{\omega}\sqrt[3]{\rho_2}\\ y_3&=\overline{\omega}\sqrt[3]{\rho_1}+\omega\sqrt[3]{\rho_2}, \end{aligned}$

此即為不完全三次方程的公式解，故原三次方程 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ 的解為 $\displaystyle x_k=y_k-\frac{b}{3a}$ ， $k=1,2,3$ 。

最後我們定義判別式：

$\displaystyle \Delta=\left(\frac{q}{2}\right)^2+ \left(\frac{p}{3}\right)^3$ ，

則

$\displaystyle \rho_1=-\frac{q}{2}+\sqrt{\Delta},~~ \rho_2=-\frac{q}{2}-\sqrt{\Delta}$ 。

分開三種情況討論：

若 $\Delta>0$ ， $\rho_1$ 和 $\rho_2$ 皆為實數，有一實根 $y_1$ ，兩共軛虛根 $y_2=\overline{y_3}$ ；
若 $\Delta=0$ ， $\rho_1=\rho_2$ 為實數，有三實根且 $y_2=y_3$ ；
若 $\Delta<0$ ， $\rho_1=\overline{\rho_2}$ 為共軛複數，不難證明 $y_1,y_2,y_3$ 為三相異實根。

下面我用一個矩陣特徵值問題說明三次方程公式解的計算步驟。考慮

$A=\left[\!\!\begin{array}{rrr} 6&-3&-2\\ 4&-1&-2\\ 10&-5&-3 \end{array}\!\!\right]$ ，

寫出特徵多項式 (見“特徵多項式蘊藏的訊息”)：

$p_A(t)=\begin{vmatrix} 6-t&-3&-2\\ 4&-1-t&-2\\ 10&-5&-3-t \end{vmatrix}=-t^3+2t^2-t+2$ ，

矩陣 $A$ 的特徵值 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ 即為 $p_A(t)=0$ 的根。

步驟一：給定三次方程

$-t^3+2t^2-t+2=0$ ，

上式通除 $-1$ ，並代入 $\displaystyle y=t-\frac{2}{3}$ ，可得 $\displaystyle y^3+py+q=0$ ，其中 $\displaystyle p=-\frac{1}{3}$ 且 $\displaystyle q=-\frac{52}{27}$ 。

步驟二：計算判別式

$\displaystyle \Delta=\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3=\frac{25}{27}>0$ ，

故知存在一實根和兩共軛虛根。接著計算

$\displaystyle \begin{aligned} \rho_1&=-\frac{q}{2}+\sqrt{\Delta}=\frac{26+15\sqrt{3}}{27},\\ \rho_2&=-\frac{q}{2}-\sqrt{\Delta}=\frac{26-15\sqrt{3}}{27},\end{aligned}$

上式的三次方根過於複雜，必須進一步化簡。令 $a+\sqrt{b}=\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}$ ，等號兩邊同時計算三次方，比較有理項和無理項，立得 $a=2, b=3$ 。因此，

$\displaystyle \sqrt[3]{\rho_1}=\frac{2+\sqrt{3}}{3},~~\sqrt[3]{\rho_2}=\frac{2-\sqrt{3}}{3}$ ，

可得一實根

$\displaystyle y_1=\sqrt[3]{\rho_1}+\sqrt[3]{\rho_2}=\frac{2+\sqrt{3}}{3}+\frac{2-\sqrt{3}}{3}=\frac{4}{3}$ ，

共軛虛根為

$\displaystyle\begin{aligned} y_2&=\omega\sqrt[3]{\rho_1}+\overline{\omega}\sqrt[3]{\rho_2}\\ &=\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\frac{2+\sqrt{3}}{3}+\left(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\frac{2-\sqrt{3}}{3}\\ &=-\frac{2}{3}+i,\end{aligned}$

和 $\displaystyle y_3=-\frac{2}{3}-i$ 。

步驟三：最後再將不完全三次方程的解轉換為原三次方程的解： $\displaystyle \lambda_k=y_k+\frac{2}{3}$ ， $k=1,2,3$ ，即得 $\lambda_1=2, \lambda_2=i, \lambda_3=-i$ 。

註解
[1] 維基百科：三次方程

[2] 使用三次方展開式 $(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$ ，三次多項式的配方過程如下：

$\displaystyle\begin{aligned} x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a} &=\left(x+\frac{b}{3a}\right)^3-3x\left(\frac{b}{3a}\right)^2-\left(\frac{b}{3a}\right)^3+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}\\ &=\left(x+\frac{b}{3a}\right)^3+\frac{3ac-b^2}{3a^2}x-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{d}{a}\\ &=\left(x+\frac{b}{3a}\right)^3+\frac{3ac-b^2}{3a^2}\left(x+\frac{b}{3a}\right)+\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}. \end{aligned}$

12 Responses to 三次方程的求根公式

Chenlogy says:

05/17/2012 at 5:27 pm

感謝教授,百忙當中抽空解答問題,其實wiki百科上大致看過卡當的方法,當初著眼在”如果特徵值很複雜”(開根又有虛數)的狀況下,才想請教有無便捷的方法,從上面範例的行列式中,很容易看出有一根是2,用了卡當果真是 … 不如用觀察法…

- ccjou says:
  
  05/17/2012 at 9:11 pm
  
  長久以來線性代數教本都不著重特徵值的計算，而是將重點放在特徵分析及其應用，畢竟計算的事交給電腦處理即可。
  
Watt Lin says:

05/17/2012 at 6:46 pm

一般認為，「虛數」的使用，是為了解一元二次方程，而發明「想像的」數。
我曾經在一本書看到，解了二次方程之後，「虛數」卻還沒流行，而且受到一些反對，認為沒有必要存在「想像的」數。
等了若干年之後，「虛數」觀念之迫切需要，而讓數學家開始積極推廣，是因為想要解三次方程。
不知道這種說法，有沒有文獻依據？

- ccjou says:
  
  05/17/2012 at 9:26 pm
  
  有的。William Dunham 的 Journey through genius: the great theorems of mathematics，1991，中譯《天才之旅》，牛頓出版社，pp173：
  有一點需要特別強調。與大眾所認知的恰好相反，虛數之所以邁入數學的領域，並不是用來做為解二次方程式的工具，而是做為解三次方程式的工具。當 $\sqrt{-121}$ 出現在 $x^2+121=0$ 的解中時，數學家確實容易將它放棄(因為此方程式明顯地沒有實根)。但是當 $\sqrt{-121}$ 在獲得上述三次方程式(指 $x^3-15x=4$ )的解 $x=4$ 中扮演關鍵角色時，他們即不能如此容易將它忽略掉。所以是三次方程式而非二次方程式給了複數最初的激勵和現在無可置疑的合法性。
  
  上面說的式子是
  $x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}-\sqrt[3]{-2+\sqrt{-121}}=(2+\sqrt{-1})-(-2+\sqrt{-1})=4$
  
  王懷權，代數學發展史，1976，協進圖書，pp146：
  問題：把1分為兩部分，使其兩部分的乘積為40。Cardano 解得此兩部分為 $5+\sqrt{-15}$ 和 $5-\sqrt{-15}$ 。他一方面視為強詞奪理，另一方面又認可而運用之。Cardano 用 Rx 15 表示 $\sqrt{-15}$ 。
  
  - Watt Lin says:
    
    05/17/2012 at 10:24 pm
    
    感謝老師引用書籍內容來回答，上面答案，我很滿意！
    另外，「把1分為兩部分，使其兩部分的乘積為40」是不是「把10分為兩部分，使其兩部分的乘積為40」漏打一個「0」？
    
    - ccjou says:
      
      05/18/2012 at 8:24 am
      
      謝謝指正，兩數字之和確實是10。
      
      我倒是認為幾乎每個文化都有負數的觀念，只是未必具備數學符號形式罷了。我問過一個六歲小孩：15減8是多少？他想了一想，給了答案。我問他怎麼算的，他說：8減5得到3，10再減3得到7。
      
  - Watt Lin says:
    
    05/17/2012 at 10:34 pm
    
    我印象中，在另一本書看到，「虛數」剛開始受到不少反對，但是比「負數」少。
    「負數」觀念，最初被提出來時，受到更強烈的反對！
    
    - Watt Lin says:
      
      05/17/2012 at 10:52 pm
      
      Sorry! 我的用詞，需作一些調整：
      「負數」被提出時，很難使人接受。
      「虛數」的被接受，不像「負數」那麼困難。
      (「不接受」與「反對」，意思存在差距。)
      
      我忘了在哪一本書看到，也不記得「負數」開始被正式使用的年代。
      這是數學史中，很有趣的話題，但高中課程沒談，我是看課外書籍而得知。
      
  - Scorpio cheng says:
    
    05/11/2018 at 12:36 pm
    
    如何得知(2+11i)^(1/3)=2+1i ?
    待定係數法似乎也不可行
    
CHUA says:

11/02/2013 at 10:42 am

教授您好，判別式內形式是兩數相減，是否為相加筆誤?

- ccjou says:
  
  11/02/2013 at 5:05 pm
  
  天哪，竟然有這麼嚴重的錯。多謝指正。
  
  - dada says:
    
    07/23/2016 at 2:38 pm
    
    教授沒有說錯,q²-4(1)(-p³/27)=q²+4p³/27

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