答張盛東──關於外積與行列式的關係

網友張盛東留言：

老師，請教一下外積 (cross product) 與行列式的關系為何？為何兩個向量的外積與這兩個向量垂直并且可以通過行列式表達？我只記得外積的定義式但從未真正理解其本質，請老師指教。

答曰：

定義能夠彰顯本質嗎？我們所認知的世界只是形形象象的現象世界，而非哲學家指稱的本來世界。不論認識天文地理抑或理解概念名詞，我們必須有一個角度。從不同的角度出發，看到的是不同的現象世界。如果存在本來世界，那麼與之相比，現象世界不過是假象。反之，如果不存在本來世界，那麼每一個現象世界應當都是真實的，也都有存在的權利。我們採用的定義隨著選擇的角度改變，故而看到現象世界的不同面向。傳統上，我們從幾何直觀來定義外積 (cross product，或稱向量積)，維基百科說^[1]：兩個三維向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的外積定義為

$\displaystyle \mathbf{a}\times\mathbf{b}=\Vert \mathbf{a}\Vert\Vert\mathbf{b}\Vert\sin\theta~\mathbf{n}$ ，

其中 $\theta$ 表示 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 之間的角度 ( $0\le\theta\le\pi$ )，且 $\mathbf{n}$ 是與 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 所在平面垂直並滿足右手定則的單位向量 (見維基百科圖示)。表面上，這個公認的外積定義與行列式無關，因此我們可能以為兩者之間的關係只是一種偶然。為了釐清外積與行列式的關係，下面我選用一個不尋常的角度──直接以行列式來定義外積。

考慮 $3\times 3$ 階實矩陣

$A=\begin{bmatrix} \mathbf{a}&\mathbf{b}&\mathbf{c} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_1&b_1&c_1\\ a_2&b_2&c_2\\ a_3&b_3&c_3 \end{bmatrix}$ 。

行列式是一個多重線性函數 (見“行列式公式的推導”)，也就是說，在固定 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的情形下， $\det A$ 是向量 $\mathbf{c}$ 的線性函數，記為 $f(\mathbf{c})=\det(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})$ 。事實上， $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ 是一個線性泛函 (linear functional)。任一線性泛函必可唯一表示成下列形式 (見“線性泛函與對偶空間”)：

$f(\mathbf{c})=f(c_1,c_2,c_3)=p_1c_1+p_2c_2+p_3c_3$ 。

令 $\left\langle\mathbf{p},\mathbf{c}\right\rangle=\mathbf{p}^T\mathbf{c}=p_1c_1+p_2c_2+p_3c_3$ 表示 $\mathbf{p}$ 和 $\mathbf{c}$ 的內積。合併以上結果，因為向量 $\mathbf{p}$ 完全由 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 所決定，我們定義 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的外積為 $\mathbf{p}=\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ ，使得對於任一 $\mathbf{c}$ ，

$\left\langle\mathbf{a}\times\mathbf{b},\mathbf{c}\right\rangle=\det(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})$ 。

利用行列式的餘因子公式 (見“行列式的運算公式與性質”)，

$\displaystyle\begin{aligned} \det(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})=\begin{vmatrix} a_1&b_1&c_1\\ a_2&b_2&c_2\\ a_3&b_3&c_3 \end{vmatrix}&=c_1\begin{vmatrix} a_2&b_2\\ a_3&b_3 \end{vmatrix}-c_2\begin{vmatrix} a_1&b_1\\ a_3&b_3 \end{vmatrix}+c_3\begin{vmatrix} a_1&b_1\\ a_2&b_2 \end{vmatrix}\\ &=c_1\begin{vmatrix} a_2&a_3\\ b_2&b_3 \end{vmatrix}+c_2\begin{vmatrix} a_3&a_1\\ b_3&b_1 \end{vmatrix}+c_3\begin{vmatrix} a_1&a_2\\ b_1&b_2 \end{vmatrix},\end{aligned}$

立即推論 $\mathbf{p}=\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ 唯一存在：

$\displaystyle \mathbf{a}\times\mathbf{b}=\left(\begin{vmatrix} a_2&a_3\\ b_2&b_3 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} a_3&a_1\\ b_3&b_1 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} a_1&a_2\\ b_1&b_2 \end{vmatrix}\right)^T$ 。

接著我們利用行列式性質推導一些常見的外積性質。

(1) 純量乘法結合律： $(k\mathbf{a})\times\mathbf{b}=\mathbf{a}\times(k\mathbf{b})=k(\mathbf{a}\times\mathbf{b})$ ，其中 $k$ 為實數。

行列式是多重線性函數，

$\displaystyle \det(k\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})=\det(\mathbf{a},k\mathbf{b},\mathbf{c})=k\det(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})$ 。

使用對應的外積定義即得

$\displaystyle \left\langle(k\mathbf{a})\times\mathbf{b},\mathbf{c}\right\rangle=\left\langle\mathbf{a}\times(k\mathbf{b}),\mathbf{c}\right\rangle=k\left\langle\mathbf{a}\times\mathbf{b},\mathbf{c}\right\rangle$ ，

但 $\mathbf{c}$ 是任一向量，故證得所求。

(2) 加法分配律： $\mathbf{a}\times(\mathbf{x}+\mathbf{y})=\mathbf{a}\times\mathbf{x}+\mathbf{a}\times\mathbf{y}$ 且 $(\mathbf{x}+\mathbf{y})\times\mathbf{b}=\mathbf{x}\times\mathbf{b}+\mathbf{y}\times\mathbf{b}$ 。

利用行列式是多重線性函數，可得

$\displaystyle\begin{aligned} \det(\mathbf{a},\mathbf{x}+\mathbf{y},\mathbf{c})&=\det(\mathbf{a},\mathbf{x},\mathbf{c})+\det(\mathbf{a},\mathbf{y},\mathbf{c})\\ \det(\mathbf{x}+\mathbf{y},\mathbf{b},\mathbf{c})&=\det(\mathbf{x},\mathbf{b},\mathbf{c})+\det(\mathbf{y},\mathbf{b},\mathbf{c}).\end{aligned}$

如性質 (1)，套用外積定義式即可得證。

(3) 反對稱性： $\mathbf{a}\times\mathbf{b}=-\mathbf{b}\times\mathbf{a}$

交換兩行改變行列式正負號，可知

$\displaystyle\begin{aligned} \left\langle\mathbf{a}\times\mathbf{b},\mathbf{c}\right\rangle&=\det(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})=-\det(\mathbf{b},\mathbf{a},\mathbf{c})\\ &=-\left\langle\mathbf{b}\times\mathbf{a},\mathbf{c}\right\rangle=\left\langle-\mathbf{b}\times\mathbf{a},\mathbf{c}\right\rangle,\end{aligned}$

推得 $\mathbf{a}\times\mathbf{b}=-\mathbf{b}\times\mathbf{a}$ 。若 $\mathbf{a}=\mathbf{b}$ ，則 $\mathbf{a}\times\mathbf{a}=-\mathbf{a}\times\mathbf{a}$ ，故 $\mathbf{a}\times\mathbf{a}=\mathbf{0}$ 。

(4) 正交性： $\left\langle\mathbf{a}\times\mathbf{b},\mathbf{a}\right\rangle=0$ 且 $\left\langle\mathbf{a}\times\mathbf{b},\mathbf{b}\right\rangle=0$ ，即 $\mathbf{a}\times\mathbf{b}\perp\mathbf{a}$ 且 $\mathbf{a}\times\mathbf{b}\perp\mathbf{b}$ 。

若行列式有相同的兩行，則行列式值等於零，故得

$\displaystyle\begin{aligned} \left\langle\mathbf{a}\times\mathbf{b},\mathbf{a}\right\rangle&=\det(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{a})=0\\ \left\langle\mathbf{a}\times\mathbf{b},\mathbf{b}\right\rangle&=\det(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{b})=0 .\end{aligned}$

(5) 循環不變性： $\left\langle\mathbf{a}\times\mathbf{b},\mathbf{c}\right\rangle=\left\langle\mathbf{b}\times\mathbf{c},\mathbf{a}\right\rangle=\left\langle\mathbf{c}\times\mathbf{a},\mathbf{b}\right\rangle$

交換兩行兩次不改變行列式的值，所以

$\displaystyle \det(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})=\det(\mathbf{b},\mathbf{c},\mathbf{a})=\det(\mathbf{c},\mathbf{a},\mathbf{b})$ 。

(6) Lagrange 恆等式： $\Vert\mathbf{a}\times\mathbf{b}\Vert^2=\Vert\mathbf{a}\Vert^2\Vert\mathbf{b}\Vert^2-\left\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\right\rangle^2$

設 $\mathbf{p}=\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ ，使用行列式可乘公式和性質 (4)，

$\displaystyle\begin{aligned} \left\langle\mathbf{a}\times\mathbf{b},\mathbf{p}\right\rangle^2&=\begin{vmatrix} \mathbf{a}&\mathbf{b}&\mathbf{p} \end{vmatrix}^2=\begin{vmatrix} \mathbf{a}^T\\ \mathbf{b}^T\\ \mathbf{p}^T \end{vmatrix}\begin{vmatrix} \mathbf{a}&\mathbf{b}&\mathbf{p} \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} \Vert\mathbf{a}\Vert^2&\left\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\right\rangle&0\\ \left\langle\mathbf{b},\mathbf{a}\right\rangle&\Vert\mathbf{b}\Vert^2&0\\ 0&0&\Vert\mathbf{p}\Vert^2 \end{vmatrix}\\ &=\Vert\mathbf{p}\Vert^2\left(\Vert\mathbf{a}\Vert^2\Vert\mathbf{b}\Vert^2-\left\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\right\rangle^2\right) .\end{aligned}$

但 $\left\langle\mathbf{a}\times\mathbf{b},\mathbf{p}\right\rangle=\Vert\mathbf{a}\times\mathbf{b}\Vert^2=\Vert\mathbf{p}\Vert^2$ ，故得證。將上式的 $\mathbf{p}$ 取代為單位向量 $\mathbf{p}/\Vert\mathbf{p}\Vert$ ，則 $\det(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{p}/\Vert\mathbf{p}\Vert)$ 等於 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 所張的平行四邊形有號面積 (因為 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{p}/\Vert\mathbf{p}\Vert$ 所張的平行六面體的高等於 $\mathbf{p}/\Vert\mathbf{p}\Vert$ 的長度 $1$ )。所以， $\vert\left\langle\mathbf{a}\times\mathbf{b},\mathbf{p}/\Vert\mathbf{p}\Vert\right\rangle\vert=\Vert\mathbf{a}\times\mathbf{b}\Vert$ 即等於 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 所張的平行四邊形面積。另一個解釋：將 $\left\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\right\rangle=\Vert\mathbf{a}\Vert\Vert\mathbf{b}\Vert\cos\theta$ 代入 Lagrange 恆等式，可得 $\Vert\mathbf{a}\times\mathbf{b}\Vert^2=\Vert\mathbf{a}\Vert^2\Vert\mathbf{b}\Vert^2(1-\cos^2\theta)=\Vert\mathbf{a}\Vert^2\Vert\mathbf{b}\Vert^2\sin^2\theta$ ，即得 $\Vert\mathbf{a}\times\mathbf{b}\Vert=\Vert\mathbf{a}\Vert\Vert\mathbf{b}\Vert\vert\sin\theta\vert$ 。

就推導證明而言，建立於行列式之上的定義方式雖然值得慶賀，但並非處處成功。譬如，三次向量積性質：

$\displaystyle \mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{b}\left\langle\mathbf{a},\mathbf{c}\right\rangle- \mathbf{c}\left\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\right\rangle$

和 Jacobi 恆等式：

$\displaystyle \mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})+\mathbf{b}\times(\mathbf{c}\times\mathbf{a})+\mathbf{c}\times(\mathbf{a}\times\mathbf{b})=\mathbf{0}$ 。

就直觀意義而言，傳統公認的定義直截了當告訴我們 $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ 正交於 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 所在的平面，基於行列式的定義則必須通過行列式運算才能演繹出這個重要的性質。因為人們的記憶很表象，通常我們只記得一個概念的大面。比起「兩個向量的外積與另一個向量的內積等於它們形成的行列式」，我們對外積的集體記憶 (collective memory)──右手屈伸三個手指──不僅意義鮮明，而且霸氣十足。

參考來源：
[1] 維基百科：Cross Product

5 Responses to 答張盛東──關於外積與行列式的關係

Watt Lin says:

06/25/2013 at 4:23 pm

老師這篇文章，實在寫得很好！我很喜歡！
我以前在高中時期，沒弄清楚，到了幾年前，才漸漸懂「外積」的一些意義，也把「向量分析」的基本觀念建立起來。
請問老師，有沒有時間，延伸這一篇文章，
把 div (curl A) = 0 用您的方式，解釋一遍，
順便也談談 curl (curl A) 的演算。
我曾經在圖書館翻閱幾本向量分析的書，書中對於公式的證明，多半屬簡略，缺乏詳細解釋。也許那些作者認為很簡單，沒必要詳解，然而讀者並非人人皆能在短時間內弄懂。有少數作者，提供curl (curl A)詳細演算，然而算式很複雜。也許您可使用行列式的一些性質，描述 curl (curl A) 「與眾不同」的演算過程。
學生們，若能以不同的方式，思考那些數學式的意義，會得到更清晰的觀念。
感謝老師辛勤寫作，部落格真的越來越豐富了！

- ccjou says:
  
  06/25/2013 at 4:49 pm
  
  謝謝。這篇回覆文是早上抽空趕出來的，剛才重讀順便稍微修改。今天的向量分析和線性代數幾乎可說是兩個獨立的科目(雖然主題都是向量)。好的，我再抽空寫幾篇介紹文，但不保證我的說法一定「與眾不同」。
  
  - Watt Lin says:
    
    06/25/2013 at 4:50 pm
    
    謝謝老師！
    
liu6tot says:

11/16/2015 at 9:38 am

张老师读完您的博文深感启发但是有一处不很明了怎样说明||的几何意义是一个平行六面体的体积？

- ccjou says:
  
  11/16/2015 at 10:08 am
  
  請參考下文：
  
  行列式的幾何意義
  
  附帶一提，敝姓周。

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