利用分塊矩陣證明 det(AB)=(det A)(det B)

本文的閱讀等級:初級

ABn\times n 階矩陣。矩陣乘積 AB 的行列式定理說 AB 的行列式等於 A 的行列式與 B 的行列式之積,即

\det(AB)=(\det A)(\det B)

下面我們僅考慮 AB 皆為可逆矩陣的情況。若 AB 不可逆,則 AB 也不可逆,所以 \det(AB)=(\det A)(\det B)=0

 
一般教科書裡採用的「典型」證明方法先引入三種基本矩陣 E 的行列式 (見“特殊矩陣 (10):基本矩陣”),並以矩陣乘積 EB 表示基本列運算執行後的結果,性質如下:

  • 取代:基本矩陣 E 將矩陣 Bj 列取代為非零常數 k 和第 i 列的乘積,此運算不改變行列式,故 \det E=1
  • 交換:基本矩陣 EB 的第 i 列與第 j 列交換位置,這使得行列式改變符號,故 \det E=-1
  • 伸縮:基本矩陣 EB 的第 i 列通乘非零常數 k,行列式變為 k 倍,故 \det E=k

以上每一個基本列運算步驟產生 EB,並滿足

(\det E)(\det B)=\det(EB)

接下來只要將矩陣 A 分解為基本矩陣乘積,A=E_pE_{p-1}\cdots E_1,然後重複使用上述關係便可歸納證出原命題:

\begin{aligned}\det(AB)&=\det(E_pE_{p-1}\cdots E_2E_1B)\\    &=(\det E_p)\det(E_{p-1}\cdots E_2E_1B)\\    &=\cdots\\    &=(\det E_p)(\det E_{p-1})\cdots (\det E_2)(\det E_1)(\det B)\\    &=(\det E_p)(\det E_{p-1})\cdots\det(E_2E_1)(\det B)\\    &=\cdots\\    &=\det(E_pE_{p-1}\cdots E_2E_1)(\det B)\\    &=(\det A)(\det B).\end{aligned}

 
上述證法可以簡述如下:利用高斯─約當法以基本列運算將分塊矩陣 [A|AB] 化為 [I|A^{-1}AB]=[I|B],左邊分塊 A 的行列式乘以因子 1/\det A (因為 \det I=1),右邊分塊 AB 的行列式同樣也乘以因子 1/\det A,推得 (1/\det A)\det (AB)=\det B

 
下面我介紹利用分塊矩陣的「非典型」證明方法,主要的想法是以分塊矩陣乘法聯繫矩陣乘積 AB。首先我們要知道這個性質:分塊三角矩陣的行列式等於其主對角分塊行列式的乘積,即

\begin{vmatrix}    A&B\\    0&C\end{vmatrix}=(\det A)(\det C)

其中 \vert\cdot\vert 代表行列式運算,AC 是分塊方陣 (但尺寸可以不同)。上述性質來自行列式的一個運算公式,稱為餘因子公式 (或稱 Laplace 展開公式,見“行列式的運算公式與性質”)。使用數學歸納法證明。考慮 p\times pM=[m_{ij}]=\begin{bmatrix}  A&B\\  0&C  \end{bmatrix},其中 A=[a_{ij}]n\times n 階。用第一行展開:

\displaystyle\begin{aligned}  \det M&=\sum_{i=1}^p(-1)^{i+1}m_{i1}\det(\tilde{M}_{i1})=\sum_{i=1}^n(-1)^{i+1}a_{i1}\begin{vmatrix}  \tilde{A}_{i1}&\ast\\  0&C  \end{vmatrix}\\  &=\sum_{i=1}^n(-1)^{i+1}a_{i1}(\det \tilde{A}_{i1})(\det C)=\left(\sum_{i=1}^n(-1)^{i+1}a_{i1}\det \tilde{A}_{i1}\right)(\det C)\\  &=(\det A)(\det C),  \end{aligned}

其中 \tilde{M}_{i1} 表示刪除 M 的第 i 列與第 1 行而得的子陣,第 1 與 5 個等號來自餘因子公式,第 3 個等號係應用歸納假設於 (p-1)\times (p-1) 階分塊子陣。

 
現在我們可以開始證明,這個證明的過程很類似「填字遊戲」和「數獨」,一邊猜測再一邊確認。考慮 \begin{bmatrix}    B&I\\    0&A\end{bmatrix},其中各分塊皆為 n 階方陣。對此分塊矩陣執行取代運算以消去分塊 A,可得

\begin{bmatrix}    I&0\\    -A&I\end{bmatrix}\begin{bmatrix}    B&I\\    0&A\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    B&I\\    -AB&0\end{bmatrix}

注意,乘積 AB 很巧妙地被引出。取代運算不改變行列式,故

\begin{vmatrix}    B&I\\    0&A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}    B&I\\    -AB&0\end{vmatrix}

利用前述分塊三角矩陣的行列式性質,等號左邊為

\begin{vmatrix}    B&I\\    0&A\end{vmatrix}=(\det B)(\det A)

等號右邊矩陣執行 n 次行交換以產生分塊三角矩陣,但每此交換行改變行列式正負號,所以

\begin{vmatrix}    B&I\\    -AB&0\end{vmatrix}=(-1)^{n}\begin{vmatrix}    I&B\\    0&-AB\end{vmatrix}=(-1)^{n}(\det I)\det(-AB)=(-1)^{n}\det(-AB)

最後將負號提出來,因為 ABn 階方陣,就有 \det(-AB)=(-1)^{n}\det(AB),將此結果代回上式即得證。

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6 則回應給 利用分塊矩陣證明 det(AB)=(det A)(det B)

  1. 張惟傑 說道:

    我有一些疑問
    您用分塊矩陣和取代運算證明
    det |B I|=|B I|
    |0 A| |-AB 0|
    但是以取代運算來說
    0應該是被B-A取代而不是-AB
    而這邊我想不到原因
    如果不解決這問題
    那上式成立的條件就是det(XY)=det(X)det(Y)
    (這是我們要證明的)
    因為您是用兩分塊矩陣相乘
    所以我倍感困惑
    希望獲得您的解答
    謝謝

  2. 張惟傑 說道:

    因為排版的問題 所以這部分我得重新以底線代替空白輸入
    det |B I|=|B __I|
    ____|0 A|_|-AB 0|

  3. ccjou 說道:

    \begin{bmatrix} -A&I \end{bmatrix} 左乘 \begin{bmatrix} B&I\\ 0&A \end{bmatrix} 的實際操作是
    -A\begin{bmatrix} B&I \end{bmatrix}+I\begin{bmatrix} 0&A \end{bmatrix}
    =\begin{bmatrix} -AB+I0&-AI+IA \end{bmatrix}
    =\begin{bmatrix} -AB&0 \end{bmatrix}
    並不會產生 B-A

  4. yao chung chang 說道:

    想請問老師, 若A,B不為square, 是否這個定理也可以用. 可否說因為若 A或 B不可逆,則 AB 也不可逆, 但等號依然成立, 所以看到Det(AB) 雖然AB不可逆, 依然可以拆解成Det(A)*Det(B)

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