利用分塊矩陣證明 det(AB)=(det A)(det B)

本文的閱讀等級：初級

令 $A$ 和 $B$ 為 $n\times n$ 階矩陣。矩陣乘積 $AB$ 的行列式定理說 $AB$ 的行列式等於 $A$ 的行列式與 $B$ 的行列式之積，即

$\det(AB)=(\det A)(\det B)$ 。

下面我們僅考慮 $A$ 和 $B$ 皆為可逆矩陣的情況。若 $A$ 或 $B$ 是不可逆的，則 $AB$ 也是不可逆的，就有 $\det(AB)=(\det A)(\det B)=0$ 。

一般教科書裡採用的「典型」證明先引入三種基本矩陣 $E$ 的行列式 (見“特殊矩陣 (10)：基本矩陣”)，並以矩陣乘積 $EB$ 表示基本列運算執行後的結果，詳述於下：

取代：基本矩陣 $E$ 將矩陣 $B$ 第 $j$ 列取代為非零常數 $k$ 和第 $i$ 列的乘積，此運算不改變行列式，故 $\det E=1$ 。
交換：基本矩陣 $E$ 將 $B$ 的第 $i$ 列與第 $j$ 列交換位置，這使得行列式改變符號，故 $\det E=-1$ 。
伸縮：基本矩陣 $E$ 將 $B$ 的第 $i$ 列通乘非零常數 $k$ ，行列式變為 $k$ 倍，故 $\det E=k$ 。

以上每一個基本列運算步驟產生 $EB$ ，並滿足

$(\det E)(\det B)=\det(EB)$ 。

接下來只要將矩陣 $A$ 分解為基本矩陣乘積， $A=E_pE_{p-1}\cdots E_1$ ，然後重複使用上述關係便可歸納證出原命題：

$\begin{aligned}\det(AB)&=\det(E_pE_{p-1}\cdots E_2E_1B)\\ &=(\det E_p)\det(E_{p-1}\cdots E_2E_1B)\\ &=\cdots\\ &=(\det E_p)(\det E_{p-1})\cdots (\det E_2)(\det E_1)(\det B)\\ &=(\det E_p)(\det E_{p-1})\cdots\det(E_2E_1)(\det B)\\ &=\cdots\\ &=\det(E_pE_{p-1}\cdots E_2E_1)(\det B)\\ &=(\det A)(\det B).\end{aligned}$

上述證法可以簡述如下：利用高斯─約當法以基本列運算將分塊矩陣 $[A|AB]$ 化為 $[I|A^{-1}AB]=[I|B]$ ，左邊分塊 $A$ 的行列式乘以因子 $1/\det A$ (因為 $\det I=1$ )，右邊分塊 $AB$ 的行列式同樣也乘以因子 $1/\det A$ ，推得 $(1/\det A)\det (AB)=\det B$ 。

下面我介紹一個採用分塊矩陣的「非典型」證明方法，主要的想法是以分塊矩陣乘法聯繫矩陣乘積 $AB$ 。首先我們要知道這個性質：分塊三角矩陣的行列式等於其主對角分塊行列式的乘積，即

$\begin{vmatrix} A&B\\ 0&C\end{vmatrix}=(\det A)(\det C)$ ，

其中 $\vert\cdot\vert$ 代表行列式運算， $A$ 與 $C$ 是分塊方陣 (但尺寸可以不同)。上述性質來自行列式的一個運算公式，稱為餘因子公式 (或稱 Laplace 展開公式，見“行列式的運算公式與性質”)。使用數學歸納法證明。考慮 $p\times p$ 階 $M=[m_{ij}]=\begin{bmatrix} A&B\\ 0&C \end{bmatrix}$ ，其中 $A=[a_{ij}]$ 是 $n\times n$ 階。用第一行展開：

$\displaystyle\begin{aligned} \det M&=\sum_{i=1}^p(-1)^{i+1}m_{i1}\det(\tilde{M}_{i1})=\sum_{i=1}^n(-1)^{i+1}a_{i1}\begin{vmatrix} \tilde{A}_{i1}&\ast\\ 0&C \end{vmatrix}\\ &=\sum_{i=1}^n(-1)^{i+1}a_{i1}(\det \tilde{A}_{i1})(\det C)=\left(\sum_{i=1}^n(-1)^{i+1}a_{i1}\det \tilde{A}_{i1}\right)(\det C)\\ &=(\det A)(\det C), \end{aligned}$

其中 $\tilde{M}_{i1}$ 表示刪除 $M$ 的第 $i$ 列與第 $1$ 行而得的子陣，第 1 與 5 個等號來自餘因子公式，第 3 個等號係應用歸納假設於 $(p-1)\times (p-1)$ 階分塊子陣。

現在我們可以開始證明，這個證明的過程很類似「填字遊戲」和「數獨」，一邊猜測再一邊確認。考慮分塊三角矩陣 $\begin{bmatrix} B&I\\ 0&A\end{bmatrix}$ ，其中各分塊皆為 $n$ 階方陣。對此分塊矩陣執行取代運算以消去分塊 $A$ ，可得

$\begin{bmatrix} I&0\\ -A&I\end{bmatrix}\begin{bmatrix} B&I\\ 0&A\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} B&I\\ -AB&0\end{bmatrix}$ 。

注意，乘積 $AB$ 很巧妙地被引出來。取代運算不改變行列式，故

$\begin{vmatrix} B&I\\ 0&A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} B&I\\ -AB&0\end{vmatrix}$ 。

利用前述分塊三角矩陣的行列式性質，等號左邊為

$\begin{vmatrix} B&I\\ 0&A\end{vmatrix}=(\det B)(\det A)$ 。

再對等號右邊矩陣執行 $n$ 次行交換以產生分塊三角矩陣，但每次交換行改變行列式的正負號，所以

$\begin{vmatrix} B&I\\ -AB&0\end{vmatrix}=(-1)^{n}\begin{vmatrix} I&B\\ 0&-AB\end{vmatrix}=(-1)^{n}(\det I)\det(-AB)=(-1)^{n}\det(-AB)$ 。

最後將負號提出來，因為 $AB$ 是 $n$ 階方陣，就有 $\det(-AB)=(-1)^{n}\det(AB)$ ，將此結果代回上式即得證。

9 Responses to 利用分塊矩陣證明 det(AB)=(det A)(det B)

張惟傑 says:

11/24/2011 at 4:26 am

我有一些疑問
您用分塊矩陣和取代運算證明
det |B I|=|B I|
|0 A| |-AB 0|
但是以取代運算來說
0應該是被B-A取代而不是-AB
而這邊我想不到原因
如果不解決這問題
那上式成立的條件就是det(XY)=det(X)det(Y)
(這是我們要證明的)
因為您是用兩分塊矩陣相乘
所以我倍感困惑
希望獲得您的解答
謝謝

張惟傑 says:

11/24/2011 at 4:28 am

因為排版的問題所以這部分我得重新以底線代替空白輸入
det |B I|=|B __I|
____|0 A|_|-AB 0|

ccjou says:

11/24/2011 at 12:47 pm

列 $\begin{bmatrix} -A&I \end{bmatrix}$ 左乘 $\begin{bmatrix} B&I\\ 0&A \end{bmatrix}$ 的實際操作是
$-A\begin{bmatrix} B&I \end{bmatrix}+I\begin{bmatrix} 0&A \end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix} -AB+I0&-AI+IA \end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix} -AB&0 \end{bmatrix}$
並不會產生 $B-A$ 。

yao chung chang says:

02/07/2017 at 2:05 pm

想請問老師, 若A,B不為square, 是否這個定理也可以用. 可否說因為若 A或 B不可逆，則 AB 也不可逆, 但等號依然成立, 所以看到Det(AB) 雖然AB不可逆, 依然可以拆解成Det(A)*Det(B)

- yao chung chang says:
  
  02/07/2017 at 2:54 pm
  
  自問自答, 根據定義算Det,只適用於square matrix. 故相關的性質都會特別強調是nxn 的square matrix
  
- ccjou says:
  
  02/07/2017 at 4:07 pm
  
  請參閱下文註解1：
  https://ccjou.wordpress.com/2012/05/09/%E5%88%A9%E7%94%A8%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F%E8%A8%88%E7%AE%97%E5%A4%9A%E9%82%8A%E5%BD%A2%E9%9D%A2%E7%A9%8D/
  
V says:

11/01/2017 at 9:13 am

A=B-1 都為n*n矩陣
det (A-1)=det(B)
不是應該為
A=B-1 ,A-1=B
det (A+1)=det(B)

- V says:
  
  11/01/2017 at 9:14 am
  
  A=B-1 都為n*n矩陣
  det (A-1)=det(B)
  不是應該為
  A=B-1 ,A+1=B <===修改
  det (A+1)=det(B)
  
jeff85898 says:

03/30/2023 at 2:19 pm

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