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針對給定的一個有限集合,集合裡的元素之間常存在某種關係。例如,一個國家中城市之間的飛航路線,產業聚落中公司之間的產品供應鏈,以及社交網路服務網站,如 Facebook,MySpace 的社群人際關係。圖論 (graph theory) 是一門描述集合裡元素彼此關係的數學領域,上述這些問題都可架構於圖論模型以利分析。
我們先回顧圖論的一些基本詞彙。圖 包含二類組成元件:頂點 (vertex) 集合 與邊 (edge) 集合 , 與 分別表示頂點數與邊的總數。邊集合 中每個邊由一對相異的頂點所定義,表示為 ,我們稱頂點 和頂點 鄰接 (adjacent),並稱頂點 和 與邊 有關聯 (incident)。如果兩個頂點存在不對稱關係,例如,公司 是公司 的買主,連接 和 的邊 具有方向性,稱為有向邊 (directed edge),包含有向邊的圖稱為有向圖 (directed graph)。為了與無向邊區別,我們將有向邊記為 ,其中 是有向邊 的初始頂點, 是終止頂點。本文僅考慮簡單圖,也就是說頂點與其自身不存在連接邊,且二鄰接頂點僅有一邊。
下面是一個描述家庭成員影響力的有向圖, 個頂點 分別代表奶奶,父親,母親,女兒和兒子,每一個有向邊代表「某人可以影響另一人」。
線性代數在圖論的應用就是運用代數方法解決圖論問題。我們介紹一個相當直覺化的矩陣表示法,稱為鄰接矩陣 (adjacency matrix)。以家庭成員圖說明,此圖包含 個成員,即 ,鄰接矩陣是一個 階矩陣 ,若有向邊從 連至 ,則 ,否則 。設 ,,,,,對應上圖的鄰接矩陣為
家庭成員的頂點編號可以隨意安排,如果重排頂點編號排序,鄰接矩陣也隨之改變,但原圖的影響力結構維持不變,所以我們稱它為同構 (isomorphic)。兩個圖是否同構可從鄰接矩陣判斷,設圖 和圖 為定義於相同頂點集合的有向圖。令 和 分別為圖 和圖 的鄰接矩陣,同構不過就是將頂點排序而已。若存在排列矩陣 滿足
則 和 同構,詳細討論請參閱“矩陣視覺化”。排列矩陣 是正交矩陣,。因此, 和 是同構圖的等價條件是 排列相似於 。我們定義圖 的矩陣譜 (spectrum) 為鄰接矩陣 的特徵值集合,並附加其相重數。兩個相似矩陣有相同的特徵值 (見“相似變換下的不變性質”),因此同構圖都有相同的矩陣譜,但反向陳述並不為真,具有相同矩陣譜未必是同構的,矩陣語言是有相同特徵值的兩矩陣未必是排列相似。若兩個不同構圖有相同的矩陣譜,我們稱之為同譜圖 (cospectral graph)。
由目視可判斷上面的無向圖 和 具有不同的結構[1]。明顯地,無向圖的鄰接矩陣是對稱矩陣,如下:
,
鄰接矩陣 和 有相同的特徵多項式:
因此也有相同的矩陣譜
上標括弧內的數字表示大於 的相重數。因此, 和 是同譜圖。鄰接矩陣的初步分析即顯示特徵多項式包含許多重要性質,它是線性代數於圖論應用的一個重要研究對象,日後將另文介紹。
接下來我們研究如何將鄰接矩陣推廣至任意頂點之間的鄰接關係。在一個有向圖中,我們定義漫步 (walk) 為由 至 的一序列頂點,其長度為 :
也就是說漫步包含連接 和 的有向邊,。如果途經的頂點都不重複拜訪,也就是 彼此相異,則稱它為路徑 (path)。
鄰接矩陣的冪矩陣 其 元,以 表示,等於從頂點 至 且長度為 的漫步總數。證明採用數學歸納法。若 ,,鄰接矩陣直接指出長度為 的漫步數。假設 時原命題成立, 即為長度等於 ,從 至 的漫步總數,計算矩陣乘法可得
因為 或 ,推論 即為長度 ,從 至 的漫步總數。
鄰接矩陣還可以回答圖中任何兩頂點是否連通。對於無向圖,若任何兩頂點之間都有路徑可抵,我們稱它是連通的 (connected);對於有向圖,則稱為強連通 (strongly connected)。連通頂點 與 的最短漫步稱為 與 的距離,記為 ,並以距離矩陣 表示,。在一連通圖或強連通圖中,最長的距離稱作該圖的直徑。注意,無向圖的距離矩陣是對稱的,但有向圖則未必。
如果 ,對於 ,都有 ,其道理是倘若不為零,則 和 的距離便小於 。因為 階鄰接矩陣的直徑必小於 ,上述性質提供了由 ,,計算距離矩陣 的方法:若 ,且 ,,則 。抄錄家庭成員圖的 ,, 於下:
由此可推得
從距離矩陣判斷此家庭人物圖是強連通,每一個成員都受其他人影響,且直徑為 。
欲判定連通圖,可檢查任兩頂點 與 是否都有大於零的漫步數,即存在 滿足 。我們可使用下面的矩陣組合來判斷給定的圖是否連通:
如果 不含零元,則任兩個相異頂點都存在連通路徑,故為連通圖。另一個直接的方法是計算 ,根據二項式定理,
上式中各矩陣係數皆不為零,所以連通圖的檢查條件為 不包含零元。
另外補充一個關於無向連通圖的直徑與鄰接矩陣的特徵值關係。若一無向圖連通圖 的直徑為 ,則鄰接矩陣 有至少 個相異特徵值。證明於下。假設兩相異頂點 和 的距離等於直徑,即 ,並設路徑為
對於每一 ,頂點 與 之間存在至少一個長度為 的路徑。因此, 對應頂點 和 的元必不為零,但 的對應元全部等於零。換句話說, 無法表示為 的線性組合。所以, 的最小多項式 (minimal polynomial,滿足 且次數最小的多項式 ) 的次數至少為 。因為 是一實對稱矩陣,故可對角化,等價條件是最小多項式不含重根 (“最小多項式 (下)”),因此證明所求。
從冪矩陣 的跡數還可以得到有關圖結構的一些訊息。設 表示無向圖 的鄰接矩陣,令 為邊的總數, 為三角形的總數,三頂點若彼此鄰接則構成一個三角形。不難證明下面的結果:
計算上例無向圖 其鄰接矩陣 的冪矩陣:
根據前面公式推知圖 有 條邊,包含 個三角形。
參考來源:
[1] 共譜圖例引自 Chris Godsil 和 Gordon Royle 合著的 Algebraic Graph Theory,Springer,2001,pp 164。