答pentiumevo──關於非零行列式存在一非零餘子式的證明

網友pentiumevo留言：

周老師您好，我想問一個與行列式有關的問題：如果已知 階行列式 ，那麼是否可以確定行列式 必有一個不為零的 階子式 呢？我的想法是，如果行列式 的所有 階子式都是零，那麼由行列式的展開定義 (對第一列展開)：

得到 (這裡 是行列式中元素 所對應的餘子式)，然而這與前提的 相違，所以行列式 必至少有一個非零的 階子式。請問這樣證明對嗎？有沒有更直觀的想法呢？是否可以由 維向量的線性獨立性出發來論證這問題呢？謝謝老師。

 
答曰：

我將你的問題重述於下：令 為一 階矩陣， 表示移除 的第 列與第 行後得到的 階子陣。又令 ，稱為對應 的餘子式 (minor)。我們的問題是：若 ，是否存在一個非零餘子式 ？下面我提供從伴隨矩陣、矩陣秩，以及行列式幾何意義導入的三個論證方式。

 
首先，你寫出行列式餘因子 (cofactor) 展開公式的證明是正確的。餘因子公式還有另一種等價表達：伴隨矩陣 (adjugate) ，其中 (見“伴隨矩陣”)。從餘因子公式可推得

。

若 ，則

。

因為 不可為零矩陣，故必定有一非零元 ，即得證。不僅如此， 的每一列與每一行必存在一非零 ，否則 便不是可逆矩陣。

 
是否可以由 維向量的線性獨立性出發來論證這問題呢？可以的，關鍵在於矩陣的行秩等於列秩 (見“行秩=列秩”)，通稱矩陣秩。較為直接的說法是：如果矩陣有 個線性獨立的行向量，也就有 個線性獨立的列向量，反之亦然。當 階矩陣 可逆時，行秩與列秩都等於 。將 的第 行刪除，可得一 階子陣

。

因為 有線性獨立的行向量，即知 ，表明 也有 個線性獨立的列向量。所以存在 使得刪除 的第 列後得到的 階子陣 可逆 (因為保留下來的 個列向量構成一線性獨立集)，故 。

 
最後，有沒有更直觀的想法呢？我們從行列式的幾何意義切入。為方便說明，考慮 ，見下例，

。

將 的第 行移除，可得一 階矩陣

。

在三維空間中， 的線性獨立行向量 和 所張的平行四邊形面積等於 (見“行列式的幾何意義”)，算式為

。

另外，我們也可以使用 Cauchy-Binet 公式 (見“Cauchy-Binet 公式”) 計算 。方法如下：從 選取兩列 (即 選取兩行)，共有三種組合：，，，數字 代表列行指標。分別計算二階子式的乘積，加總在一起，過程如下：

上式中，，，，故 。由於 ，故可斷定至少有一 不為零。這些餘子式又有甚麼幾何意義呢？因為

，

即為 和 所張的平行四邊形 (有號) 面積，也就是 和 所張的平行四邊形於 XY 平面的投影面積。同理， 和 分別是該平行四邊形於 XZ 平面與 YZ 平面的投影面積。推廣至一般情形，餘子式 是 階矩陣 移除第 行後得到的 階子陣 的 個行向量在 空間所形成的「平行多面體」(其體積為 ) 至子空間 ( 是標準單位向量) 的投影體積。平行多面體體積與 個投影體積滿足等式 。

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