早上讀報時看到今年大學指考的數學乙試題 (2013 年大學指考數乙試題)，其中有一則線性代數問題，抄錄於下。
問題：已知二階方陣 
滿足 
，
。請選出正確的選項。
(1) 
的行列式 (值) 為 6。
(2) 
(3) ![A^{-1}=\left[\!\!\begin{array}{cr} 2&-2\\ 0&3 \end{array}\!\!\right]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=A%5E%7B-1%7D%3D%5Cleft%5B%5C%21%5C%21%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcr%7D++2%26-2%5C%5C++0%263++%5Cend%7Barray%7D%5C%21%5C%21%5Cright%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0&c=20201002)
(4) 
(5) 
解答：將給出的兩個式子合併為矩陣形式：
，
解出 再代入各選項檢查即可。但如果不算出 ，我們能夠回答所有的問題嗎？
(1) 使用矩陣乘積的行列式可乘公式，
，
可得 
，此選項正確。
(2) 寫出 的特徵多項式 
。根據 Cayley-Hamilton 定理並利用 (1)，
。考慮
![\displaystyle \begin{bmatrix} 1&1\\ 1&2 \end{bmatrix}^{-1}A\begin{bmatrix} 1&1\\ 1&2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&1\\ 1&2 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} 5&7\\ 2&4 \end{bmatrix}=\left[\!\!\begin{array}{rr} 8&10\\ -3&-3 \end{array}\!\!\right]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle++%5Cbegin%7Bbmatrix%7D++1%261%5C%5C++1%262++%5Cend%7Bbmatrix%7D%5E%7B-1%7DA%5Cbegin%7Bbmatrix%7D++1%261%5C%5C++1%262++%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D++1%261%5C%5C++1%262++%5Cend%7Bbmatrix%7D%5E%7B-1%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D++5%267%5C%5C++2%264++%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D%5Cleft%5B%5C%21%5C%21%5Cbegin%7Barray%7D%7Brr%7D++8%2610%5C%5C++-3%26-3++%5Cend%7Barray%7D%5C%21%5C%21%5Cright%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0&c=20201002)
。
因為相似變換不改變跡數 (trace)，
，此選項正確。
(3) 計算 
，但 (1) 說明了 
，此選項不為真。
(4) 寫出線性組合 
，使用線性變換基本性質，
，
此選項正確。
(5) 考慮
。
代入給定條件，等號左邊是 
，等號右邊是 
，此選項不正確。
最後我們想知道 到底為何？只要算出 
和 
即可。類似 (4) 的作法，寫出線性組合表達式，再代入已知條件，計算過程如下：
即得 
。試想：如果打從一開頭便算出 ，我們就沒有機會操練矩陣乘積的行列式可乘公式、Cayley-Hamilton 定理、相似變換的跡數不變性，以及線性變換的基本性質。從這個角度來看，迅速獲得解答未必真的是一件好事。
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線代啟示錄 
老師寫出這篇文章，提供變通途徑解題，真是有趣！
但也顯出台灣當前教育制度的弱點，學生解題，大多數人可能遵照制式方法，以為要先算出A才能作答，欠缺靈活思考。
常來《線代啟示錄》部落格瀏覽，可以啟發思考，使頭腦更靈活。
考試的時候，我們當然會尋找最便捷穩當的方法，問題是久而久之會以為「快思」代表有效率。當我們放慢腳步，譬如喝咖啡看報紙或做些沒有建設性的事情，這時候才比較有機會「慢想」。但不論快思或慢想都好，重要的是「思與想」。
這題對我來說很有挑戰性，剛看到這題時，直覺是先解出矩陣的樣子，在依題目的要求依序解出各選項．老師在此文說的方法必較好，幾乎不用知道矩陣的樣子就可以解出這題．
某些疾病，在醫師謹慎處理的過程，診斷報告尚未確知，也可以先作一些基本的治療，經過一段時間，疾病名稱終於確定，再回顧醫師所作的各項處置，皆在合理範圍內。
這次看到大學指考的題目，不知矩陣A，亦能正確答對一些與A有關聯的項目。由此例，聯想醫療過程，未知詳細病名，仍然可以作些事。假如要等候診斷完全確立才給予藥物，也許會延誤治療時機。然而，不是每一種病皆可以作這樣的解釋，某些特定藥物，必須等到診斷完全確定，才可以開始用於治療。
線性代數的思考，可以應用在各種不同領域，醫學是其中一個類別。醫師們若有時間，多吸收一些數學觀念，醫學技能可以更加進步。
看到各位的迴響讓我想起「曹沖秤象」的故事。
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9B%B9%E5%86%B2
曹沖自小生性聰慧，五、六歲的時候，智力就和成人相仿。孫權曾送給曹操一頭大象，曹操想知道大象的重量，問遍了手下的人，都想不出秤象之法，因為沒有那麼大的秤。曹沖想出一法：把大象放進船裡，記錄水位到達船舷的位置；牽出大象，將石塊往船上裝，直到水位到達先前記錄的位置；然後分批秤出石塊的重量，併疊加得出總重量。這總重量即等於大象的重量。曹操非常高興，按照他說的方法秤出了大象的重量。
一言以蔽之，「曹沖秤象」就是將給定的問題轉換成另一個較容易解決的等價問題。