2013 年大學指考數乙的線性代數問題

早上讀報時看到今年大學指考的數學乙試題 (2013 年大學指考數乙試題),其中有一則線性代數問題,抄錄於下。

 
問題:已知二階方陣 A=\begin{bmatrix}  a&b\\  c&d  \end{bmatrix} 滿足 A\begin{bmatrix}  1\\  1  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  5\\  2  \end{bmatrix}A\begin{bmatrix}  1\\  2  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  7\\  4  \end{bmatrix}。請選出正確的選項。

(1) A 的行列式 (值) 為 6。

(2) A^2=5A-6\begin{bmatrix}  1&0\\  0&1  \end{bmatrix}

(3) A^{-1}=\left[\!\!\begin{array}{cr}  2&-2\\  0&3  \end{array}\!\!\right]

(4) A\begin{bmatrix}  1\\  3  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  9\\  6  \end{bmatrix}

(5) \begin{bmatrix}  1&1  \end{bmatrix}A=\begin{bmatrix}  5&7  \end{bmatrix}

 
解答:將給出的兩個式子合併為矩陣形式:

\displaystyle  A\begin{bmatrix}  1&1\\  1&2  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  5&7\\  2&4  \end{bmatrix}

解出 A 再代入各選項檢查即可。但如果不算出 A,我們能夠回答所有的問題嗎?

 
(1) 使用矩陣乘積的行列式可乘公式,

\displaystyle  (\det A)\begin{vmatrix}  1&1\\  1&2  \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}  5&7\\  2&4  \end{vmatrix}

可得 \det A=6,此選項正確。

(2) 寫出 A=\begin{bmatrix}  a&b\\  c&d  \end{bmatrix} 的特徵多項式 p(t)=\begin{vmatrix}  a-t&b\\  c&d-t  \end{vmatrix}=t^2-(a+d)t+\begin{vmatrix}  a&b\\  c&d  \end{vmatrix}。根據 Cayley-Hamilton 定理並利用 (1),A^2-(\hbox{tr}A)A+(\det A)I=A^2-(\hbox{tr}A)A+6I=0。考慮

\displaystyle  \begin{bmatrix}  1&1\\  1&2  \end{bmatrix}^{-1}A\begin{bmatrix}  1&1\\  1&2  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  1&1\\  1&2  \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}  5&7\\  2&4  \end{bmatrix}=\left[\!\!\begin{array}{rr}  8&10\\  -3&-3  \end{array}\!\!\right]

因為相似變換不改變跡數 (trace),\hbox{tr}A=8-3=5,此選項正確。

(3) 計算 \det A^{-1}=\left|\!\!\begin{array}{cr}  2&-2\\  0&3  \end{array}\!\!\right|=6,但 (1) 說明了 \det A^{-1}=1/6,此選項不為真。

(4) 寫出線性組合 \displaystyle  \begin{bmatrix}  1\\  3  \end{bmatrix}=(-1)\begin{bmatrix}  1\\  1  \end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}  1\\  2  \end{bmatrix},使用線性變換基本性質,

\displaystyle  A\begin{bmatrix}  1\\  3  \end{bmatrix}=A\left((-1)\begin{bmatrix}  1\\  1  \end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}  1\\  2  \end{bmatrix}\right)=-A\begin{bmatrix}  1\\  1  \end{bmatrix}+2A\begin{bmatrix}  1\\  2  \end{bmatrix}=-\begin{bmatrix}  5\\  2  \end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}  7\\  4  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  9\\  6  \end{bmatrix}

此選項正確。

(5) 考慮

\displaystyle  \begin{bmatrix}  1&1  \end{bmatrix}A\begin{bmatrix}  1&1\\  1&2  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  1&1  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  5&7\\  2&4  \end{bmatrix}

代入給定條件,等號左邊是 \displaystyle  \begin{bmatrix}  5&7  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  1&1\\  1&2  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  12&19  \end{bmatrix},等號右邊是 \begin{bmatrix}  7&11  \end{bmatrix},此選項不正確。

 
最後我們想知道 A 到底為何?只要算出 A\begin{bmatrix}  1\\  0  \end{bmatrix}A\begin{bmatrix}  0\\  1  \end{bmatrix} 即可。類似 (4) 的作法,寫出線性組合表達式,再代入已知條件,計算過程如下:

\displaystyle\begin{aligned}  A\begin{bmatrix}  1\\  0  \end{bmatrix}&=A\left(2\begin{bmatrix}  1\\  1  \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}  1\\  2  \end{bmatrix}\right)=2\begin{bmatrix}  5\\  2  \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}  7\\  4  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  3\\  0  \end{bmatrix}\\  A\begin{bmatrix}  0\\  1  \end{bmatrix}&=A\left((-1)\begin{bmatrix}  1\\  1  \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}  1\\  2  \end{bmatrix}\right)=-\begin{bmatrix}  5\\  2  \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}  7\\  4  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  2\\  2  \end{bmatrix}  ,\end{aligned}

即得 A=\begin{bmatrix}  3&2\\  0&2  \end{bmatrix}。試想:如果打從一開頭便算出 A,我們就沒有機會操練矩陣乘積的行列式可乘公式、Cayley-Hamilton 定理、相似變換的跡數不變性,以及線性變換的基本性質。從這個角度來看,迅速獲得解答未必真的是一件好事。

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5 則回應給 2013 年大學指考數乙的線性代數問題

  1. Watt Lin 說:

    老師寫出這篇文章,提供變通途徑解題,真是有趣!
    但也顯出台灣當前教育制度的弱點,學生解題,大多數人可能遵照制式方法,以為要先算出A才能作答,欠缺靈活思考。
    常來《線代啟示錄》部落格瀏覽,可以啟發思考,使頭腦更靈活。

    • ccjou 說:

      考試的時候,我們當然會尋找最便捷穩當的方法,問題是久而久之會以為「快思」代表有效率。當我們放慢腳步,譬如喝咖啡看報紙或做些沒有建設性的事情,這時候才比較有機會「慢想」。但不論快思或慢想都好,重要的是「思與想」。

  2. u88103 說:

    這題對我來說很有挑戰性,剛看到這題時,直覺是先解出矩陣的樣子,在依題目的要求依序解出各選項.老師在此文說的方法必較好,幾乎不用知道矩陣的樣子就可以解出這題.

  3. Watt Lin 說:

    某些疾病,在醫師謹慎處理的過程,診斷報告尚未確知,也可以先作一些基本的治療,經過一段時間,疾病名稱終於確定,再回顧醫師所作的各項處置,皆在合理範圍內。
    這次看到大學指考的題目,不知矩陣A,亦能正確答對一些與A有關聯的項目。由此例,聯想醫療過程,未知詳細病名,仍然可以作些事。假如要等候診斷完全確立才給予藥物,也許會延誤治療時機。然而,不是每一種病皆可以作這樣的解釋,某些特定藥物,必須等到診斷完全確定,才可以開始用於治療。
    線性代數的思考,可以應用在各種不同領域,醫學是其中一個類別。醫師們若有時間,多吸收一些數學觀念,醫學技能可以更加進步。

  4. ccjou 說:

    看到各位的迴響讓我想起「曹沖秤象」的故事。
    https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9B%B9%E5%86%B2

    曹沖自小生性聰慧,五、六歲的時候,智力就和成人相仿。孫權曾送給曹操一頭大象,曹操想知道大象的重量,問遍了手下的人,都想不出秤象之法,因為沒有那麼大的秤。曹沖想出一法:把大象放進船裡,記錄水位到達船舷的位置;牽出大象,將石塊往船上裝,直到水位到達先前記錄的位置;然後分批秤出石塊的重量,併疊加得出總重量。這總重量即等於大象的重量。曹操非常高興,按照他說的方法秤出了大象的重量。

    一言以蔽之,「曹沖秤象」就是將給定的問題轉換成另一個較容易解決的等價問題。

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