Tag Archives: 旋轉矩陣

每週問題 February 20, 2017

Posted on 02/20/2017 by ccjou

證明三階旋轉矩陣的一個跡數恆等式。 Let be a real orthogonal matrix and . Prove that .

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答DJWS──關於以鏡射變換實現矩陣轉置

Posted on 11/25/2016 by ccjou

網友DJWS留言： 想請教老師一個問題：給定矩陣 ，使用一連串的鏡射變換，變成其轉置 ，該如何做呢？

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高階旋轉矩陣

Posted on 08/19/2015 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 若 是 階實正交矩陣 (簡稱正交矩陣)，，且 ，則 稱為旋轉矩陣。以下設 。正交變換具有保角、保長以及保距性。下面是正交矩陣的等價界定性質 (見“旋轉與鏡射”)： 對於任意 ，。 對於任一 ，。 對於任意 ，。 加入條件 的用意在於物體旋轉是剛體運動 (rigid body motion)，故而保留方向性 (orientation)。若 和 是同大小的旋轉矩陣，則 且 ，可知 也是旋轉矩陣。

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旋轉與鏡射

Posted on 08/12/2015 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 令 為一個 階實矩陣。若 ，即 ，我們稱 為正交矩陣 (orthogonal matrix) 。令 為正交矩陣 的行向量 (column vector)，。因此，，即 若 ， 若 。正交矩陣的行向量組成一個單範正交集 (orthonormal set)。因為 是實矩陣，，正交矩陣是一種特殊的么正 (unitary) 矩陣，其界定條件為 。正交矩陣繼承么正矩陣的性質，正交變換具有保角、保長以及保距性。下面是正交矩陣的等價界定性質 (證明見“等距同構與么正矩陣”)： 對於任意 ，。 對於任一 ，。 對於任意 ，。 本文討論兩種主要的正交矩陣：旋轉與鏡射，並解說兩者的相互表達。為便利說明，我們將使用下列預備知識。假設 ，。使用性質2，，即得 ，故正交矩陣的特徵值的絕對值等於 。正交矩陣歸屬正規 (normal) 矩陣，即 ，因此擁有完整的 個單範正交特徵向量 (見“特殊矩陣 … Continue reading →

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保長、保角與共形映射

Posted on 06/25/2014 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 令 為一 階實矩陣。我們可以將 視為一個從幾何向量空間 映至 的線性變換：，其中 。如果線性變換 不改變向量長度，則 稱為保長 (length-preserving) 映射或等距同構 (isometry)。保長映射 有下列等價的定義方式 (見“等距同構與么正矩陣”)： 是一實正交矩陣 (orthogonal matrix)，即 。 對於每一 ，。 對於任何 ，。 對於任何 ，。 保長映射的定義條件相當嚴苛，我們可以將它稍微放鬆。兩個實向量 和 的內積定義為 (見“內積的定義”) ， 其中 是 和 的夾角。對於任意非零向量 ，若線性變換 不改變 和 的夾角，也就是說， ， 則 … Continue reading →

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答王jiun──關於平面上的鏡射問題

Posted on 05/20/2014 by ccjou

網友王jiun留言： Dear 周老師，偶發機會，連上老師的網站，看到了好多矩陣的問題。原本是想查看看 Cayley-Hamilton 定理，因為高中數學解決矩陣高次方問題時，利用 Cayley-Hamilton 定理創造出一個特徵方程式，再除以此特徵方程式，將高次方變成處理餘式即可。這方法真妙……於是上網搜尋關鍵字，因緣際會連上老師的網站，真是福氣，學習好多好多東西 (原因還是很多看不懂)。 近期高中(四)3-4上課到鏡射矩陣，學習到一些好方法。因此利用直線的斜率創造出旋轉矩陣解決了對稱點的問題，但是偏偏課本舉例的對稱直線都是通過原點的。但是我發現若對稱直線沒有通過原點，那到底要怎麼解決呢？我原本想是不是先做點的平移，使直線通過原點，不過越想越頭痛，陷入思考盲點。以下是我從網路去找練習題目練習，都有給解答，但都沒有解釋。我怎麼都想不透？特請老師可否解救我，感恩。 問題一：設點 對於直線 的鏡射點為 ，請找出 與 的關係 (見圖一)。 解答： 問題二：如圖二，設直線 與 的夾角為 ，點 對於 的鏡射點為 ，點 對於 的鏡射點為 ，找出 與 的關係。(兩次鏡射等於一次旋轉) 解答： 問題三：設點 對於直線 (其中 ) 的鏡射點為 ，請找出 與 的關係。 解答： 第一題：那一直線斜率明明是 … Continue reading →

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三維空間的旋轉矩陣

Posted on 04/29/2014 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 在二維平面上，逆時針方向旋轉 徑度 (弧度，radian) 的旋轉矩陣為 (見“幾何變換矩陣的設計”) 。 不難驗證 的特徵值為 和 ，其中 ，並具有下面兩個基本性質： 旋轉矩陣 的兩個行向量 (column vector) 和 組成一個單範正交集 (orthonormal set)，也就是說， 是一個實正交矩陣 (orthogonal matrix)，滿足 ，故逆旋轉矩陣為 。 對於任一實正交矩陣 ，，即得 。若 ，則 稱為適當的 (proper) 正交矩陣。計算 ，旋轉矩陣 是適當的正交矩陣。若 ，則 稱為不適當的正交矩陣，例如鏡射矩陣 (見“旋轉與鏡射”) 。 本文討論常見於電腦圖學 (computer … Continue reading →

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四元數與三維空間旋轉

Posted on 04/23/2014 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 愛爾蘭數學家哈密頓 (William Rowan Hamilton) 將複數 ，其中 是實數， 是虛數單位，延伸為四元數 (quaternion)，即一個實數加上三個虛部， ， 其中 是實數，虛數單位 滿足基本公式 。 任一複數 與單位複數 的乘積 可以解讀為點 在二維複數平面逆時針旋轉 徑度 (見“複數的矩陣表示”)。類似地，四元數亦可表示三維空間旋轉，不過這個性質不像複數蘊含平面旋轉那般明顯，因為實在難以想像處於 的四元數如何對 向量執行運算。

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Cayley 變換

Posted on 04/16/2014 by ccjou

本文的閱讀等級：初級 令 為一個 階矩陣。若 可逆，英國數學家凱萊 (Arthur Cayley) 於1846年提出下列變換，稱為 Cayley 變換[1]： ， 其中 與 是可交換矩陣 (證明見註解[2])。除非特別註明，以下考慮實矩陣。通過 Cayley 變換，反對稱矩陣 (anti-symmetric matrix) 或稱斜對稱矩陣 (skew-symmetric matrix) 與特殊的一類正交矩陣 (orthogonal matrix) 具有一對一的對應關係。

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複數的矩陣表示

Posted on 09/23/2013 by ccjou

本文的閱讀等級：初級 十八世紀末，複數已漸漸被時人所接受，1799年挪威─丹麥數學家韋塞爾 (Caspar Wessel) 提出複數可看作平面上的一點。數年後，高斯 (Carl Friedrich Gauss) 再提出此觀點並大力推廣，從此複數的研究開始快速發展[1]。複數數系是一個體 (域，field)，我們用 表示複數體。簡單地說，一個體就是具有加法和乘法的數系 (見“有限體與模算術”)，譬如，實數系 是一個最常見的體。高斯主張複數系 是二維平面 (稱為複數平面)，並賦予一乘法運算。令實部單位 在複數平面的座標為 ，虛部單位 在複數平面的座標為 。任一複數 可唯一表示為 ，其中 和 是實數，也就是說，複數 可以視為實數 和 組成的有序對： 。 這裡我們要澄清一個觀念：向量空間 的維數 (dimension) 究竟是 還是 ？向量空間 的維數定義為 的基底的基數 (cardinal number)，即基底向量的總數。複數系 既是一個複向量空間也是實向量空間[2]， 的維數取決於構成向量空間的體，也就是說，，但 。不過，複向量空間 … Continue reading →

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