Tag Archives: 仿射組合

本文的閱讀等級：初級 幾何座標空間 的一個向量 表示該向量端點的座標。點與座標向量具有一對一的對應關係，因為這個緣故，我們經常以座標向量代表點。本文介紹一種別於子空間與仿射空間 (子空間的平移) 的向量集。我們稱一個向量集 是凸集 (convex set)，若給定任兩點 和 ，點 屬於 。淺白地說，在凸集中，任兩個點皆可「看見」彼此，連接這兩點的直線段不含集合以外的點。見圖一的例子。比較特別的是， 所包含的子空間與仿射空間都是凸集。

本文的閱讀等級：初級 考慮 中三向量 。如果存在不全為零的組合權重 使得 ， 我們稱向量集 線性相關 (否則稱為線性獨立)，這時候其中一個向量可以表示為其他二向量的線性組合。若 的端點 (向量代表點座標) 位於同一直線上，則其中一向量為其他二向量的仿射組合 (見“仿射組合與仿射空間”)。設 ， 其中 。將上式改寫為 ， 可知 不僅線性相關，且組合權重之和等於零。這個結果引出下面的定義：對於 ，若存在不全為零的實數 使得 ， 並滿足 ，我們稱向量集 仿射相關 (affine dependent)，否則稱為仿射獨立 (affine independent)。以下討論限定於幾何向量空間 。

本文的閱讀等級：初級 考慮線性方程 ，所有可能的解稱為通解，具有下列形式： ， 其中特解 是指滿足 的任一解，齊次解 則滿足 。除非齊次解僅包含平凡解 ，否則特解和齊次解皆不唯一，故通解有無窮多種表達式。見下例： 的通解可以表示為 ， 上式中， 是任意實數，改變 數值即產生新的特解 ，齊次解則為 。幾何空間向量可用其端點表示，上例通解 (即所有特解構成的集合) 是 中一不穿越原點的直線，故不為子空間 (任一子空間必定包含原點)。另一方面，所有的齊次解都位於穿越原點的平行直線上，此即 的零空間 (見“Ax=b 和 Ax=0 的解集合有什麼關係？”)。所以，通解與齊次解之間具有點對點的平移關係，而該平移量可以是任一滿足線性方程的特解 。通解、特解和齊次解之間的關係常令學者感到困惑，本文介紹兩個新概念──仿射組合與仿射空間，希望藉此得以釐清特解和齊次解的幾何意義。