向量空間

如何計算矩陣秩 \mathrm{rank}A？
如何證明行秩等於列秩？
如何證明 \mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(A^{\ast}A)=\mathrm{rank}A^{\ast}=\mathrm{rank}(AA^{\ast})=\mathrm{rank}\overline{A}=\mathrm{rank}A^T？
如何證明 Sylvester 不等式和 Frobenius 不等式？
若 A 為 m\times n，B 為 n\times p，C 為p\times q
\mathrm{rank}A+\mathrm{rank}B-n\le\mathrm{rank}(AB)
\mathrm{rank}(AB)+\mathrm{rank}(BC)\le\mathrm{rank}B+\mathrm{rank}(ABC)
如何證明 \mathrm{rank}(A+B)\le\mathrm{rank}A+\mathrm{rank}B？
如何證明 \mathrm{rank}(AB)\le\mathrm{min}\{\mathrm{rank}A,\mathrm{rank}B\}？
如何判斷一向量集是否為子空間？
如何利用基本列運算求得實矩陣 A 的四個基本子空間 C(A^T)，N(A)，C(A)，N(A^T) 的基底？
如何判斷二矩陣是否擁有相同的行空間、列空間、零空間或左零空間？
給定向量空間 \mathcal{V} 的二子空間 \mathcal{U} 和 \mathcal{W}， 如何計算子空間交集 \mathcal{U}\cap\mathcal{W} 與子空間和 \mathcal{U}+\mathcal{W}？
給定向量空間 \mathcal{V} 的二子空間 \mathcal{U} 和 \mathcal{W}，如何證明容斥定理 \mathrm{dim}(\mathcal{U}\cap\mathcal{W})=\mathrm{dim}\mathcal{U}+\mathrm{dim}\mathcal{W}-\mathrm{dim}(\mathcal{U}+\mathcal{W})？
如何計算沿著子空間 \mathcal{Y} 至子空間 \mathcal{X} 的投影？
如何得到列空間內的線性方程解，也就是長度最小的解向量(極小範數解)？
如何判定 \{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\} 是否為線性獨立向量集？
如何由給定的向量集 \{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\} 挑選出最多的線性獨立向量？
如何將一給定向量集 \{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k\} 擴展為向量空間 \mathcal{V} 的基底？
如何判斷線性獨立函數集？
例：\{e^x,xe^x,x^2e^x\}
給定二同尺寸矩陣 A 和 B，如何計算零空間交集 N(A)\cap N(B) 和行空間交集 C(A)\cap C(B)？
若 AB 可乘，如何計算 N(A)\cap C(B)？
給定矩陣 A，如何求得一矩陣 P 使得 C(P)=N(A)？如何求得一矩陣 Q 使得 N(Q)=C(A)？

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