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考慮 階 Vandermonde 矩陣
,
其中 互異。我們曾利用伴隨 (adjugate) 矩陣及行列式公式導出 的逆矩陣公式 (見“Vandermonde 矩陣的逆矩陣”),但由於涉及行列式運算,推演過程因而相當繁複。本文介紹另一個較簡潔的逆矩陣推導方法──Lagrange 內插多項式 (參見“利用 Lagrange 內插多項式推導 Cauchy 矩陣的逆矩陣”)。
令 階矩陣 代表 Vandermonde 矩陣 的逆矩陣,即 。對於任意 ,就有
,
其中 是 Kronecker 函數: 若 , 若 。考慮定義於 的 次 Lagrange 特殊多項式
因為 ,且 若 ,推得 。與前一式比較,對於
,就有
,
故 可唯一決定 (因為 互異,共有 個條件方程)。剩下的工作是從上式解出 。
展開 的分子,
其中 是 的基本對稱函數 (elementary symmetric function,見“特徵多項式預藏的訊息”),如下:
,
並定義 。所以,
,
上式中, 的係數即為所求: