每週問題 March 11, 2013

這是從矩陣乘積的跡數判斷矩陣性質的問題。

Let A be an n\times n real matrix. Prove the following statements.
(a) If \mathrm{trace}(AB)=0 for every n\times n real matrix B, then A=0.
(b) If \mathrm{trace}(AB)=0 for every n\times n real matrix B with \mathrm{trace}B=0, then A=tI, where t is any real number.

 
參考解答:

(a) 使用逆否命題法。假設 A\neq 0,則 \mathrm{trace}(AA^T)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}^2>0,故證得所求。

(b) 令 \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) 表示 n\times n 階實矩陣所構成的向量空間,\dim \mathcal{M}_n(\mathbb{R})=n^2。所有滿足 \mathrm{trace}B=0 的實矩陣 B 構成 \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) 的一子空間 \mathcal{X},理由如下:若 B, C\in \mathcal{X}k\in\mathbb{R},則 \mathrm{trace}(B+C)=\mathrm{trace}B+\mathrm{trace}C=0+0=0\mathrm{trace}(kB)=k~\mathrm{trace}B=k\cdot 0=0,故 \mathrm{trace}(B+C)\in\mathcal{X}\mathrm{trace}(kB)\in\mathcal{X}。子空間 \mathcal{X} 中成員矩陣的唯一限制是主對角元之和等於零,故 \dim\mathcal{X}=n^2-1。考慮定義於 \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) 的內積運算:

\left\langle A,B\right\rangle=\mathrm{trace}(A^TB)

根據題意,對於任一 B\in\mathcal{X}\mathrm{trace}(AB)=\left\langle A^T,B\right\rangle=0,這說明 A^T 屬於 \mathcal{X} 的正交補餘 (orthogonal complement),記為 \mathcal{X}^{\perp}。因為 \dim\mathcal{X}^{\perp}=1\left\langle I,B\right\rangle=\mathrm{trace}(IB)=\mathrm{trace}B=0,可知 \mathcal{X}^{\perp} 由單位矩陣 I 擴張而成。所以,A=tI,其中 t 是任一實數。

PowSol-March-11-13

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2 則回應給 每週問題 March 11, 2013

  1. 12345 說:

    於問題(b)中,子空間\mathcal{X}的維度要怎麼算呢?

    • ccjou 說:

      以二階方陣為例,令 A=\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}。顯然,\dim\mathcal{M}_2=2^2=4。若 A\in\mathcal{X},則 \mathrm{trace}A=a+d=0,故 A 可表示為 A=\begin{bmatrix} a&b\\ c&-a \end{bmatrix},也就是說,\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{bmatrix} 構成 \mathcal{X} 的一組基底,所以 \dim\mathcal{X}=4-1=3。運用類似方法可推廣至 n>2 的情形。

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