分塊矩陣的行列式

本文的閱讀等級:初級

我們知道二階行列式的計算公式為

\displaystyle  \begin{vmatrix}  a&b\\  c&d  \end{vmatrix}=ad-bc

那麼 2\times 2 階分塊矩陣的行列式 \displaystyle  \begin{vmatrix}  A&B\\  C&D  \end{vmatrix} 是否也有相同的公式?在一般情況下,相應的分塊矩陣的行列式公式並不存在,但如果 A, B, CD 滿足某些特定條件,則有簡明的計算公式。回顧行列式的標準公式──排列公式 (或稱萊布尼茲公式,見“行列式的運算公式與性質”):若 A=[a_{ij}] 為一個 n\times n 階矩陣,

\displaystyle  \det A=\sum_{p}\sigma(p)a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}

其中 p=(j_1,j_2,\ldots,j_n) 表示自然排序 (1,2,\ldots,n) 的排列 (permutation),\sigma(p)=1p 經過偶數次換位 (transposition,即交換兩元位置) 可得自然排序,\sigma(p)=-1p 經過奇數次換位可得自然排序。例如,若 p=(2,4,1,3),換位過程如下:

\displaystyle  (2,4,1,3)\to(1,4,2,3)\to(1,2,4,3)\to(1,2,3,4)

p=(2,4,1,3) 經過三次換位得到自然排序,可知 \sigma(p)=-1。本文介紹一些常見的分塊矩陣的行列式公式,並使用排列公式、行列式基本性質,以及分塊矩陣乘法運算推導證明。

 
公式一:若 AD 是方陣 (但大小可以相異),則

\displaystyle \begin{vmatrix}  A&B\\  0&D  \end{vmatrix}=(\det A)(\det D)

公式一表明分塊上三角矩陣的行列式等於主對角分塊行列式之積。因為轉置不改變行列式,分塊下三角矩陣的行列式也等於主對角分塊行列式之積。先考慮一個特殊分塊型態 M=[m_{ij}]=\begin{bmatrix}  A&0\\  0&I_{n-r}  \end{bmatrix},其中 Ar\times r 階矩陣。根據排列公式,

\displaystyle \det M=\sum_p\sigma(p)m_{1j_1}\cdots m_{rj_r}m_{r+1,j_{r+1}}\cdots m_{nj_n}

因為 M 是分塊對角矩陣且包含 I_{n-r}

\displaystyle   m_{r+1,j_{r+1}}\cdots m_{nj_n}=\left\{\begin{array}{ll}  1&\hbox{if~}p=(j_1,\ldots,j_r,r+1,\ldots,n)\\  0&\hbox{otherwise}.\end{array}\right.

\tilde{p}=(j_1,\ldots,j_r,r+1,\ldots,n)p_r=(j_1,\ldots,j_r)。所以,

\displaystyle\begin{aligned}  \det M&=\sum_{\tilde{p}}\sigma(\tilde{p})m_{1j_1}\cdots m_{rj_r}m_{r+1,j_{r+1}}\cdots m_{nj_n}\\  &=\sum_{p_r}\sigma(p_r)m_{1j_1}\cdots m_{rj_r}\\  &=\det A,\end{aligned}

\begin{vmatrix}  A&0\\  0&I  \end{vmatrix}=\det A。同樣道理,\begin{vmatrix}  I&0\\  0&D  \end{vmatrix}=\det D。對於一般的分塊對角矩陣,

\displaystyle  \begin{bmatrix}  A&0\\  0&D  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  A&0\\  0&I  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  I&0\\  0&D  \end{bmatrix}

利用行列式可乘公式 (見“矩陣乘積行列式公式的代數證法”),以及上面結果,可得

\displaystyle  \begin{vmatrix}  A&0\\  0&D  \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}  A&0\\  0&I  \end{vmatrix}\begin{vmatrix}  I&0\\  0&D  \end{vmatrix}=(\det A)(\det D)

 
接著我們介紹一個採用 QR 分解的證明方法。寫出 QR 分解,A=Q_AR_AD=Q_DR_D,其中 Q_AQ_D 是正交矩陣,R_AR_D 是上三角矩陣 (見“線代膠囊──QR 分解”)。據此,\begin{bmatrix}  A&B\\  0&D  \end{bmatrix} 的 QR 分解為

\displaystyle  \begin{bmatrix}  A&B\\  0&D  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  Q_A&0\\  0&Q_D  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  R_A&Q_A^TB\\  0&R_D  \end{bmatrix}

上三角矩陣的行列式等於主對角元之積,故可推得

\displaystyle\begin{aligned}  \begin{vmatrix}  A&B\\  0&D  \end{vmatrix}&=\begin{vmatrix}  Q_A&0\\  0&Q_D  \end{vmatrix}\begin{vmatrix}  R_A&Q_A^TB\\  0&R_D  \end{vmatrix}\\  &=(\det Q_A)(\det Q_D)(\det R_A)(\det R_D)\\  &=\det(Q_AR_A)\det(Q_DR_D)\\  &=(\det A)(\det D).  \end{aligned}

 
公式二:設 AD 是方陣。若 A 是可逆的,則

\displaystyle\begin{vmatrix}  A&B\\  C&D  \end{vmatrix}=(\det A)(\det (D-CA^{-1}B))

D 是可逆的,則

\displaystyle\begin{vmatrix}  A&B\\  C&D  \end{vmatrix}=(\det D)(\det (A-BD^{-1}C))

我們仍然使用分塊矩陣乘法來推導。若 A 是可逆的,則

\displaystyle  \begin{bmatrix}  A&B\\  C&D  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  I&0\\  CA^{-1}&I  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  A&B\\  0&D-CA^{-1}B  \end{bmatrix}

使用公式一,

\displaystyle\begin{aligned}  \begin{vmatrix}  A&B\\  C&D  \end{vmatrix}&=\begin{vmatrix}  I&0\\  CA^{-1}&I  \end{vmatrix}\begin{vmatrix}  A&B\\  0&D-CA^{-1}B  \end{vmatrix}\\  &=(\det I)(\det I)(\det A)(\det (D-CA^{-1}B))\\  &=(\det A)(\det(D-CA^{-1}B)).\end{aligned}

運用相同方法亦可證明第二個公式。

 
公式三:設 A, B, C, Dn\times n 階矩陣。若 A, B, C, D 其中之一是零矩陣,則

\displaystyle\begin{vmatrix}  A&B\\  C&D  \end{vmatrix}=\det (AD-BC)

B=0C=0,則 BC=0,使用公式一即得證。若 A=0,執行 n 次列交換,

\displaystyle  \begin{vmatrix}  0&B\\  C&D  \end{vmatrix}=(-1)^n\begin{vmatrix}  C&D\\  0&B  \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}  C&D\\  0&-B  \end{vmatrix}=(\det C)(\det (-B))=\det(-BC)

D=0,運用相同方法即可證明所求。

 
公式四:設 A, B, C, Dn\times n 階矩陣。若 AC=CA,則

\displaystyle\begin{vmatrix}  A&B\\  C&D  \end{vmatrix}=\det (AD-CB)

CD=DC,則

\displaystyle\begin{vmatrix}  A&B\\  C&D  \end{vmatrix}=\det (AD-BC)

BD=DB,則

\displaystyle\begin{vmatrix}  A&B\\  C&D  \end{vmatrix}=\det (DA-BC)

AB=BA,則

\displaystyle\begin{vmatrix}  A&B\\  C&D  \end{vmatrix}=\det (DA-CB)

注意,縱使前提滿足,\det(AD-CB) 未必等於 \det (AD-BC),同樣地,\det(AD-BC) 也未必等於 \det (DA-BC)。下面解說第一個公式的證明,運用同樣方法也可以證明其他公式。分開兩部分討論。若 A 是可逆的,使用公式二,

\displaystyle\begin{aligned}  \begin{vmatrix}  A&B\\  C&D  \end{vmatrix}&=(\det A)(\det (D-CA^{-1}B))\\  &=\det(AD-ACA^{-1}B)\\  &=\det(AD-CAA^{-1}B)\\  &=\det(AD-CB).  \end{aligned}

A 是不可逆的,我們利用連續論證法來證明。根據矩陣的特徵值性質,存在一正數 \delta 使得對於 0<\epsilon<\deltaA+\epsilon I 是可逆矩陣 (見“連續論證法”)。因為 (A+\epsilon I)C=C(A+\epsilon I),套用前面結果,

\displaystyle  \begin{vmatrix}  A+\epsilon I&B\\  C&D  \end{vmatrix}=\det((A+\epsilon I)D-CB)

\epsilon\to 0,即證得所求。

 
下列行列式算式是公式四的必然結果:

\displaystyle\begin{aligned}  \begin{vmatrix}  I&B\\  C&D  \end{vmatrix}&=\det (D-CB)\\  \begin{vmatrix}  A&I\\  C&D  \end{vmatrix}&=\det (DA-C)\\  \begin{vmatrix}  A&B\\  I&D  \end{vmatrix}&=\det (AD-B)\\  \begin{vmatrix}  A&B\\  C&I  \end{vmatrix}&=\det (A-BC).\end{aligned}

 
公式五:若 ABn\times n 階矩陣,則

\displaystyle\begin{vmatrix}  A&B\\  B&A  \end{vmatrix}=\det (A+B)\det (A-B)

考慮分塊矩陣乘法

\displaystyle  \begin{bmatrix}  I&0\\  -I&I  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  A&B\\  B&A  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  I&0\\  I&I  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  I&0\\  -I&I  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  A+B&B\\  B+A&A  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  A+B&B\\  0&A-B  \end{bmatrix}

等號兩邊取行列式,利用公式一即得證。

廣告
本篇發表於 線性代數專欄, 行列式 並標籤為 , , 。將永久鏈結加入書籤。

2 Responses to 分塊矩陣的行列式

  1. xddxy 說道:

    我觉得在公式一中考虑的那个特殊分块形态,因为右下角是单位矩阵,所以可以从最底下一行按行展开,只有Mnn是1,其他元素都是零,这样展开成低一阶的行列式,最底下一行还是只有最右边一个元素是1,其他都是0,继续展开,展到只剩Ar为止,这样很简明的看出|M|=|Ar|。

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

您的留言將使用 WordPress.com 帳號。 登出 / 變更 )

Twitter picture

您的留言將使用 Twitter 帳號。 登出 / 變更 )

Facebook照片

您的留言將使用 Facebook 帳號。 登出 / 變更 )

Google+ photo

您的留言將使用 Google+ 帳號。 登出 / 變更 )

連結到 %s