矩陣多項式

本文的閱讀等級:初級

\mathcal{P}_m 表示最高次為 m 的多項式所形成的集合。給定

\displaystyle  f(t)=a_mt^m+\cdots+a_1t+a_0\in\mathcal{P}_m

以及方陣 A,我們定義矩陣多項式

\displaystyle  f(A)=a_mA^m+\cdots+a_1A+a_0I

例如,f(t)=2t^2-3t+5A=\left[\!\!\begin{array}{cr} 1&-1\\ 2&0 \end{array}\!\!\right],矩陣多項式為

\displaystyle f(A)=2\left[\!\!\begin{array}{cr} 1&-1\\ 2&0 \end{array}\!\!\right]^2-3\left[\!\!\begin{array}{cr} 1&-1\\ 2&0 \end{array}\!\!\right]+5\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix}=\left[\!\!\begin{array}{rc} 0&1\\ -2&1 \end{array}\!\!\right]

這篇短文討論矩陣多項式的加法、純量乘法及一般乘法,並證明消滅多項式 (annihilating polynomial) 的存在性,即對於任一方陣 A,存在一多項式 f(t) 使得 f(A)=0

 
先回顧多項式的基本運算。令 f(t)=a_mt^m+\cdots+a_0g(t)=b_mt^m+\cdots+b_0 屬於 \mathcal{P}_m。多項式加法定義為

\displaystyle (f+g)(t)=(a_m+b_m)t^m+\cdots+(a_0+b_0)

(f+g)(t)\in\mathcal{P}_m。若 c 為一純量,則純量乘法運算為

\displaystyle (cf)(t)=(ca_m)t^m+\cdots+(ca_0)

(cf)(t)\in\mathcal{P}_m。所以,多項式集合 \mathcal{P}_m 是一個向量空間 (見“子空間的辨識”)。再者,我們可以定義兩個多項式的乘積

\displaystyle (fg)(t)=c_{2m}t^{2m}+\cdots+c_0

其中第 k 次項由 a_it^ib_{k-i}t^{k-i} 構造而成,其係數為

\displaystyle c_k=\sum_{i=0}^ka_ib_{k-i}=a_0b_k+a_1b_{k-1}+\cdots+a_kb_0

 
對於方陣 A,矩陣多項式也有加法、純量乘法及一般乘法運算:

\displaystyle\begin{aligned} (f+g)(A)&=f(A)+g(A),\\ (cf)(A)&=cf(A),\\ (fg)(A)&=f(A)g(A). \end{aligned}

為了方便,我們定義 A^0\equiv I。上述運算規則證明於下:

\displaystyle\begin{aligned} (f+g)(A)&=(a_m+b_m)A^m+\cdots+(a_0+b_0)I\\ &=a_mA^m+b_mA^m+\cdots+a_0I+b_0I\\ &=f(A)+g(A), \end{aligned}

\displaystyle\begin{aligned} (cf)(A)&=(ca_m)A^m+\cdots+(ca_0)I\\ &=ca_mA^m+\cdots+ca_0I\\ &=cf(A), \end{aligned}

\displaystyle\begin{aligned} (fg)(A)&=\sum_{k=0}^{2m}c_kA^k=\sum_{i=0}^m\sum_{j=0}^ma_ib_jA^{i+j}\\ &=\sum_{i=0}^ma_iA^i\sum_{j=0}^mb_jA^j=f(A)g(A). \end{aligned}

 
A 為一 n\times n 階矩陣。下面證明存在一消滅多項式 f\in\mathcal{P}_{m}m\ge n^2,使得 f(A)=0。我們知道所有的 n\times n 階矩陣形成一個向量空間,其維數等於 n^2。當 m\ge n^2,任意 m+1 個矩陣,譬如,

\displaystyle I,A,A^2,\ldots,A^m

必定是一線性相關集,換句話說,存在不全為零的數組 a_0,a_1,\ldots,a_m 使得

\displaystyle a_mA^m+\cdots+a_0I=0

f(t)=a_mt^m+\cdots+a_0 即得證。

 
事實上,每一個 n\times n 階矩陣 A 必定有次數不大於 n 的消滅多項式。Cayley-Hamilton 定理說矩陣 A 的特徵多項式 p(t)\in\mathcal{P}_n 滿足 p(A)=0 (見“Cayley-Hamilton 定理”)。Cayley-Hamilton 定理提供的消滅多項式可簡化冪矩陣 A^k 的計算 (見“每週問題 August 3, 2009”),或應用於一般矩陣函數 (見“利用 Cayley-Hamilton 定理計算矩陣函數”)。

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