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令 表示最高次為 的多項式所形成的集合。給定
,
以及方陣 ,我們定義矩陣多項式
。
例如, 且 ,矩陣多項式為
。
這篇短文討論矩陣多項式的加法、純量乘法及一般乘法,並證明消滅多項式 (annihilating polynomial) 的存在性,即對於任一方陣 ,存在一多項式 使得 。
先回顧多項式的基本運算。令 和 屬於 。多項式加法定義為
,
故 。若 為一純量,則純量乘法運算為
,
故 。所以,多項式集合 是一個向量空間 (見“子空間的辨識”)。再者,我們可以定義兩個多項式的乘積
,
其中第 次項由 構造而成,其係數為
。
對於方陣 ,矩陣多項式也有加法、純量乘法及一般乘法運算:
為了方便,我們定義 。上述運算規則證明於下:
令 為一 階矩陣。下面證明存在一消滅多項式 ,,使得 。我們知道所有的 階矩陣形成一個向量空間,其維數等於 。當 ,任意 個矩陣,譬如,
必定是一線性相關集,換句話說,存在不全為零的數組 使得
。
令 即得證。
事實上,每一個 階矩陣 必定有次數不大於 的消滅多項式。Cayley-Hamilton 定理說矩陣 的特徵多項式 滿足 (見“Cayley-Hamilton 定理”)。Cayley-Hamilton 定理提供的消滅多項式可簡化冪矩陣 的計算 (見“每週問題 August 3, 2009”),或應用於一般矩陣函數 (見“利用 Cayley-Hamilton 定理計算矩陣函數”)。