每週問題 June 6, 2016

若線性方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 是一致的，則 $A^\ast$ 的行空間 (column space) 存在唯一一個解。

Let $A$ be an $m\times n$ complex matrix. If $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ is consistent for some $\mathbf{b}$ , prove that there exists a unique solution $\mathbf{x}$ in the column space of $A^\ast$ .

參考解答：

在向量空間 $\mathbb{C}^n$ ，矩陣 $A^\ast$ 的行空間 (column space) $C(A^\ast)$ 為 $A$ 的零空間 (nullspace) $N(A)$ 的正交補餘 (orthogonal complement)。假設 $\mathbf{x}\in\mathbb{C}^n$ 滿足 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 。特解 $\mathbf{x}$ 可唯一分解為 $\mathbf{x}=\mathbf{y}+\mathbf{z}$ ，其中 $\mathbf{y}\in C(A^\ast)$ 且 $\mathbf{z}\in N(A)$ 。將特解 $\mathbf{x}$ 的表達式代入線性方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ ，如下：

$\displaystyle A\mathbf{x}=A(\mathbf{y}+\mathbf{z})=A\mathbf{y}+A\mathbf{z}=A\mathbf{y}=\mathbf{b}$ ，

可知 $\mathbf{y}$ 也是一個特解。接下來，我們證明唯一性。假設 $\mathbf{y},\mathbf{y}'\in C(A^\ast)$ 使得 $A\mathbf{y}=\mathbf{b}$ 且 $A\mathbf{y}'=\mathbf{b}$ 。令上面兩式相減， $A(\mathbf{y}-\mathbf{y}')=\mathbf{0}$ ，因此 $(\mathbf{y}-\mathbf{y}')\in N(A)$ 。然而， $\mathbf{y}$ 與 $\mathbf{y}'$ 的任意線性組合必仍屬於 $C(A^\ast)$ ，可知 $(\mathbf{y}-\mathbf{y}')\in C(A^\ast)$ 。所以， $(\mathbf{y}-\mathbf{y}')\in N(A)\cap C(A^\ast)=\{\mathbf{0}\}$ ，證明 $\mathbf{y}=\mathbf{y}'$ 。

1 Response to 每週問題 June 6, 2016

Devin says:

09/13/2018 at 10:23 pm

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