每週問題 June 6, 2016

若線性方程 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 是一致的,則 A^\ast 的行空間 (column space) 存在唯一一個解。

Let A be an m\times n complex matrix. If A\mathbf{x}=\mathbf{b} is consistent for some \mathbf{b}, prove that there exists a unique solution \mathbf{x} in the column space of A^\ast.

 
參考解答:

在向量空間 \mathbb{C}^n,矩陣 A^\ast 的行空間 (column space) C(A^\ast) 為零空間 (nullspace) N(A) 的正交補餘 (orthogonal complement)。假設 \mathbf{x}\in\mathbb{C}^n 滿足 A\mathbf{x}=\mathbf{b}。特解 \mathbf{x} 可唯一分解為 \mathbf{x}=\mathbf{y}+\mathbf{z},其中 \mathbf{y}\in C(A^\ast)\mathbf{z}\in N(A)。代入線性方程,

\displaystyle  A\mathbf{x}=A(\mathbf{y}+\mathbf{z})=A\mathbf{y}+A\mathbf{z}=A\mathbf{y}=\mathbf{b}

可知 \mathbf{y} 也是一個特解。接下來,我們證明唯一性。假設 \mathbf{y},\mathbf{y}'\in C(A^\ast) 使得 A\mathbf{y}=\mathbf{b}A\mathbf{y}'=\mathbf{b}。令兩式相減,A(\mathbf{y}-\mathbf{y}')=\mathbf{0},說明 (\mathbf{y}-\mathbf{y}')\in N(A)。然而,\mathbf{y}\mathbf{y}' 的任意線性組合必仍屬於 C(A^\ast),可知 (\mathbf{y}-\mathbf{y}')\in C(A^\ast)。合併以上結果,(\mathbf{y}-\mathbf{y}')\in N(A)\cap C(A^\ast)=\{\mathbf{0}\},證明 \mathbf{y}=\mathbf{y}'

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