三階逆矩陣公式

本文的閱讀等級：初級

給定 $n\times n$ 階矩陣 $A$ ，如果存在一個同階矩陣 $B$ 使得 $AB=BA=I_n$ ( $I_n$ 表示 $n\times n$ 階單位矩陣)，則 $A$ 稱為可逆 (invertible) 或非奇異 (nonsingular) 矩陣。在這個情況下， $B$ 由 $A$ 唯一決定^[1]，稱為 $A$ 的逆矩陣或反矩陣 (inverse)，記作 $A^{-1}$ 。矩陣 $A$ 是可逆矩陣的一個充要條件為 $A$ 的行列式不等於零， $\det A\neq 0$ 。若 $2\times 2$ 階矩陣 $A=\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}$ 是可逆的，則 $\det A=ad-bc\neq 0$ (反之亦然)，逆矩陣公式如下：

$\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\!\!\begin{array}{rr} d&-b\\ -c&a \end{array}\!\!\right]$ 。

你可能好奇 $3\times 3$ 階可逆矩陣的逆矩陣公式為何？本文介紹三個逆矩陣算法：

高斯─約當法 (Gauss-Jordan method)，
伴隨矩陣 (adjugate) 衍生的行列式表達式，
Cayley-Hamilton 定理導出的矩陣多項式。

我們先用這些方法推導 $2\times 2$ 階逆矩陣公式，隨後再推廣至 $3\times 3$ 階矩陣。

1. 高斯─約當法

令 $A$ 為一個 $n\times n$ 階矩陣。寫出 $n\times 2n$ 階增廣矩陣 $\begin{bmatrix} A&I_n \end{bmatrix}$ ，高斯─約當法運用基本列運算 (elementary row operation) 將增廣矩陣化簡為簡約列梯形式 (reduced row echelon form) $\begin{bmatrix} I&X \end{bmatrix}$ (見“高斯─約當法”)。這個運算程序等同於連續左乘基本矩陣 (見“特殊矩陣(10)：基本矩陣”) $E_1,\ldots,E_k$ 使得

$E_k\cdots E_1\begin{bmatrix} A&I_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} I_n&X \end{bmatrix}$ 。

乘開後比較等號兩邊的分塊， $(E_k\cdots E_1)A=I_n$ 和 $E_k\cdots E_1=X$ ，可得 $XA=I_n$ ，因此 $X$ 即為逆矩陣 $A^{-1}$ 。下面是 $2\times 2$ 階矩陣的基本列運算過程 (第一個步驟的算法原理請見“利用行列式計算矩陣秩”)：

$\begin{aligned} \begin{bmatrix} a&b&\vline&1&0\\ c&d&\vline&0&1 \end{bmatrix}&\to\left[\!\!\begin{array}{cccrc} a&b&\vline&1&0\\ 0&ad-bc&\vline&-c&a \end{array}\!\!\right]\to\begin{bmatrix} a&b&\vline&1&0\\[0.3em] 0&1&\vline&\displaystyle\frac{-c}{ad-bc}&\displaystyle\frac{a}{ad-bc} \end{bmatrix}\\ &\to\begin{bmatrix} a&0&\vline&\displaystyle\frac{ad}{ad-bc}&\displaystyle\frac{-ab}{ad-bc}\\[0.5em] 0&1&\vline&\displaystyle\frac{-c}{ad-bc}&\displaystyle\frac{a}{ad-bc} \end{bmatrix}\to\begin{bmatrix} 1&0&\vline&\displaystyle\frac{d}{ad-bc}&\displaystyle\frac{-b}{ad-bc}\\[0.5em] 0&1&\vline&\displaystyle\frac{-c}{ad-bc}&\displaystyle\frac{a}{ad-bc} \end{bmatrix}\end{aligned}$

理論上， $3\times 3$ 階矩陣 $A=[a_{ij}]$ 也可以如法炮製，不過實際上大概沒有多少人願意以代數運算化簡增廣矩陣

$\begin{bmatrix} A&I_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\vline&1&0&0\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&\vline&0&1&0\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&\vline&0&0&1 \end{bmatrix}$ ，

從而推導出逆矩陣公式。即便高斯─約當法沒有給出逆矩陣的一般公式，但就所耗用的計算量而言 (文末將詳細說明)，它確實是一個相當有效的演算法。

2. 伴隨矩陣

假設 $X=\begin{bmatrix} x_{11}&x_{12}\\ x_{21}&x_{22} \end{bmatrix}$ 為 $A=\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}$ 的逆矩陣，則 $AX=I_2$ ，明確地表示為

$\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{11}&x_{12}\\ x_{21}&x_{22} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix}$ 。

將上式拆開，可得兩個線性方程組：

$\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{11}\\ x_{21} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix},~~\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{12}\\ x_{22} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}$ 。

利用克拉瑪公式 (見“克拉瑪公式的證明”)，第一個線性方程組的解為

$\displaystyle x_{11}=\frac{\begin{vmatrix} 1&b\\ 0&d \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a&b\\ c&d \end{vmatrix}}=\frac{d}{ad-bc},~~x_{21}=\frac{\begin{vmatrix} a&1\\ c&0 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a&b\\ c&d \end{vmatrix}}=\frac{-c}{ad-bc}$ ，

第二個線性方程組的解為

$\displaystyle x_{12}=\frac{\begin{vmatrix} 0&b\\ 1&d \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a&b\\ c&d \end{vmatrix}}=\frac{-b}{ad-bc},~~x_{22}=\frac{\begin{vmatrix} a&0\\ c&1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a&b\\ c&d \end{vmatrix}}=\frac{a}{ad-bc}$ 。

使用同樣方法亦可推得 $3\times 3$ 階矩陣的逆矩陣公式。底下我採用另一個較為便捷的推導方式。考慮 $n\times n$ 階矩陣 $A=[a_{ij}]$ 的伴隨矩陣 (adjugate 或 classical adjoint) $\hbox{adj}A$ ，各元定義為 $(\hbox{adj}A)_{ij}=(-1)^{i+j}\det\tilde{A}_{ji}$ ，其中 $\tilde{A}_{ji}$ 代表移除 $A$ 的第 $j$ 列與第 $i$ 行之後得到的 $(n-1)\times (n-1)$ 階子陣， $\det\tilde{A}_{ji}$ 稱為餘子式 (minor)， $(-1)^{i+j}\det\tilde{A}_{ji}$ 稱為 $a_{ji}$ 的餘因子 (cofactor)。使用伴隨矩陣的關鍵等式 (見“伴隨矩陣”)

$A(\hbox{adj}A)=(\det A)I_n$ ，

等號兩邊同時左乘 $\frac{1}{\det A}A^{-1}$ ，即得到以伴隨矩陣表示的逆矩陣公式

$\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{\det A}\hbox{adj}A$ 。

以 $2\times 2$ 階矩陣為例，

$\displaystyle A^{-1}=\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{\det A}\left[\!\!\begin{array}{rr} \det\tilde{A}_{11}&-\det\tilde{A}_{21}\\ -\det\tilde{A}_{12}&\det\tilde{A}_{22} \end{array}\!\!\right]=\frac{1}{\det A}\left[\!\!\begin{array}{rr} d&-b\\ -c&a \end{array}\!\!\right]$ 。

下面是 $3\times 3$ 階逆矩陣的行列式表達式：

$\displaystyle A^{-1}=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{\det A}\left[\!\!\begin{array}{rrr} \begin{vmatrix} a_{22}&a_{23}\\ a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}&-\begin{vmatrix} a_{12}&a_{13}\\ a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}&\begin{vmatrix} a_{12}&a_{13}\\ a_{22}&a_{23} \end{vmatrix}\\ &&\\ -\begin{vmatrix} a_{21}&a_{23}\\ a_{31}&a_{33} \end{vmatrix}&\begin{vmatrix} a_{11}&a_{13}\\ a_{31}&a_{33} \end{vmatrix}&-\begin{vmatrix} a_{11}&a_{13}\\ a_{21}&a_{23} \end{vmatrix}\\ &&\\ \begin{vmatrix} a_{21}&a_{22}\\ a_{31}&a_{32} \end{vmatrix}&-\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{31}&a_{32} \end{vmatrix}&\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{vmatrix} \end{array}\!\!\right]$ 。

3. Cayley-Hamilton 定理

令 $A$ 為一個 $n\times n$ 階矩陣，且 $A$ 的特徵多項式為 $p(t)=\det(A-tI)$ 。Cayley-Hamilton 定理聲明 $A$ 被其特徵多項式所消滅，即 $p(A)=0$ (見“Cayley-Hamilton 定理”)。對於 $2\times 2$ 階矩陣 $A=\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}$ ，寫出特徵多項式

$p(t)=\begin{vmatrix} a-t&b\\ c&d-t \end{vmatrix}=t^2-(a+d)t+(ad-bc)=t^2-(\hbox{trace}A)t+\det A$ ，

其中 $\hbox{trace}A$ 定義為 $A$ 的主對角元之和，稱為跡數。Cayley-Hamilton 定理指出

$p(A)=A^2-(\hbox{trace}A)A+(\det A)I_2=0$ 。

上式乘以 $\frac{1}{\det A}A^{-1}$ ，逆矩陣 $A^{-1}$ 可表示為 $A$ 和 $I_2$ 的線性組合，如下：

$\displaystyle \begin{aligned} A^{-1}&=\frac{1}{\det A}\left(-A+(\hbox{trace}A)I_2\right)\\ &=\frac{1}{\det A}\left(-\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}+(a+d)\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix}\right)=\frac{1}{\det A}\left[\!\!\begin{array}{rr} d&-b\\ -c&a \end{array}\!\!\right].\end{aligned}$

沿用相同方法，寫出 $3\times 3$ 階矩陣 $A=[a_{ij}]$ 的特徵多項式

$\begin{aligned} p(t)&=\begin{vmatrix} a_{11}-t&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}-t&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}-t \end{vmatrix}\\ &=-t^3+(a_{11}+a_{22}+a_{33})t^2-\left(\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{11}&a_{13}\\ a_{31}&a_{33} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{22}&a_{23}\\ a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}\right)t+\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}\\ &=-t^3+(\hbox{trace}A)t^2-\left(\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{11}&a_{13}\\ a_{31}&a_{33} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{22}&a_{23}\\ a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}\right)t+\det A.\end{aligned}$

令 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ 為 $A$ 的特徵值。因為特徵值是特徵多項式 $p(t)$ 的根，就有

$\begin{aligned} p(t)&=-(t-\lambda_1)(t-\lambda_2)(t-\lambda_3)\\ &=-t^3+(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)t^2-(\lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_2\lambda_3)t+\lambda_1\lambda_2\lambda_3.\end{aligned}$

使用關係式 $\hbox{trace}A=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3$ (見“特徵多項式蘊藏的訊息”) 與 $\hbox{trace}(A^2)=\lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2$ ，改寫上式 $t$ 的係數，如下：

$\displaystyle \lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_2\lambda_3=\frac{(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)^2-(\lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2)}{2}=\frac{(\hbox{trace}A)^2-\hbox{trace}(A^2)}{2}$ 。

再者， $\det A=\lambda_1\lambda_2\lambda_3$ ，Cayley-Hamilton 定理給出

$\displaystyle p(A)=-A^3+(\hbox{trace}A)A^2-\frac{(\hbox{trace}A)^2-\hbox{trace}(A^2)}{2}A+(\det A)I_3=0$ 。

上式通乘 $\frac{1}{\det A}A^{-1}$ ，即得到 $3\times 3$ 階逆矩陣的矩陣多項式，以 $A^2$ ， $A$ 和 $I_3$ 的線性組合表示：

$\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left(A^2-(\hbox{trace}A)A+\frac{(\hbox{trace}A)^2-\hbox{trace}(A^2)}{2}I_3\right)$ 。

這個公式同時也說明 $3\times 3$ 階矩陣 $A$ 的伴隨矩陣為

$\displaystyle \hbox{adj}A=A^2-(\hbox{trace}A)A+\frac{(\hbox{trace}A)^2-\hbox{trace}(A^2)}{2}I_3$ 。

底下我用一個例子展示三種逆矩陣算法的計算過程，請你自行判斷哪一種方法的計算量較少且有較為簡潔的簿記。見下例：

$A=\left[\!\!\begin{array}{rcc} 2&2&5\\ -2&1&2\\ 6&3&9 \end{array}\!\!\right]$ 。

1. 高斯─約當法使用基本列運算的化簡步驟如下：

$\displaystyle\begin{aligned} \left[\!\!\begin{array}{rcccccc} 2&2&5&\vline&1&0&0\\ -2&1&2&\vline&0&1&0\\ 6&3&9&\vline&0&0&1 \end{array}\!\!\right]&\to\left[\!\!\begin{array}{crrcrcc} 2&2&5&\vline&1&0&0\\ 0&3&7&\vline&1&1&0\\ 0&-3&-6&\vline&-3&0&1 \end{array}\!\!\right]\to\left[\!\!\begin{array}{ccccrcc} 2&2&5&\vline&1&0&0\\ 0&3&7&\vline&1&1&0\\ 0&0&1&\vline&-2&1&1 \end{array}\!\!\right]\\ &\to\left[\!\!\begin{array}{ccccrrr} 2&2&0&\vline&11&-5&-5\\ 0&3&0&\vline&15&-6&-7\\ 0&0&1&\vline&-2&1&1 \end{array}\!\!\right]\to\left[\!\!\begin{array}{ccccrrr} 2&2&0&\vline&11&-5&-5\\ [0.3em] 0&1&0&\vline&5&-2&-\frac{7}{3}\\ [0.3em] 0&0&1&\vline&-2&1&1 \end{array}\!\!\right]\\ &\to\left[\!\!\begin{array}{ccccrrr} 2&0&0&\vline&1&-1&-\frac{1}{3}\\ [0.3em] 0&1&0&\vline&5&-2&-\frac{7}{3}\\ [0.3em] 0&0&1&\vline&-2&1&1 \end{array}\!\!\right]\to\left[\!\!\begin{array}{ccccrrr} 1&0&0&\vline&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{6}\\ [0.3em] 0&1&0&\vline&5&-2&-\frac{7}{3}\\ [0.3em] 0&0&1&\vline&-2&1&1 \end{array}\!\!\right]\end{aligned}$

逆矩陣 $A^{-1}$ 即為簡約列梯形式右邊的 $3\times 3$ 階分塊。

2. 以伴隨矩陣表示的逆矩陣公式須計算 $\det A$ ，由高斯─約當法第二個步驟得到的上三角矩陣可知

$\det A=\left|\!\!\begin{array}{rcc} 2&2&5\\ -2&1&2\\ 6&3&9 \end{array}\!\!\right|=\begin{vmatrix} 2&2&5\\ 0&3&7\\ 0&0&1 \end{vmatrix}=2\cdot 3\cdot 1=6$ ，

寫出伴隨矩陣後再計算 9 個二階行列式，結果如下：

$\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{6}\left[\!\!\begin{array}{rrr} \begin{vmatrix} 1&2\\ 3&9 \end{vmatrix}&-\begin{vmatrix} 2&5\\ 3&9 \end{vmatrix}&\begin{vmatrix} 2&5\\ 1&2 \end{vmatrix}\\ &&\\ -\left|\!\!\begin{array}{rc} -2&2\\ 6&9 \end{array}\!\!\right|&\begin{vmatrix} 2&5\\ 6&9 \end{vmatrix}&-\left|\!\!\begin{array}{rc} 2&5\\ -2&2 \end{array}\!\!\right|\\ &&\\ \left|\!\!\begin{array}{rc} -2&1\\ 6&3 \end{array}\!\!\right|&-\begin{vmatrix} 2&2\\ 6&3 \end{vmatrix}&\left|\!\!\begin{array}{rc} 2&2\\ -2&1 \end{array}\!\!\right| \end{array}\!\!\right]=\frac{1}{6}\left[\!\!\begin{array}{rrr} 3&-3&-1\\ 30&-12&-14\\ -12&6&6 \end{array}\!\!\right]$ 。

3. Cayley-Hamilton 定理演繹的逆矩陣公式必須計算 $A^2$ ，如下：

$A^2=\left[\!\!\begin{array}{rcc} 2&2&5\\ -2&1&2\\ 6&3&9 \end{array}\!\!\right]^2=\left[\!\!\begin{array}{rrr} 30&21&59\\ 6&3&10\\ 60&42&117 \end{array}\!\!\right]$ 。

接著算出 $\hbox{trace}A=2+1+9=12$ ， $\hbox{trace}(A^2)=30+3+117=150$ 。代入逆矩陣的矩陣多項式，

$\displaystyle\begin{aligned} A^{-1}&=\frac{1}{6}\left(\left[\!\!\begin{array}{rrr} 30&21&59\\ 6&3&10\\ 60&42&117 \end{array}\!\!\right]-12\left[\!\!\begin{array}{rcc} 2&2&5\\ -2&1&2\\ 6&3&9 \end{array}\!\!\right]+\frac{12\cdot 12-150}{2}\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}\right)\\ &=\frac{1}{6}\left(\left[\!\!\begin{array}{rrr} 30&21&59\\ 6&3&10\\ 60&42&117 \end{array}\!\!\right]-\left[\!\!\begin{array}{rrr} 24&24&60\\ -24&12&24\\ 72&36&108 \end{array}\!\!\right]+\left[\!\!\begin{array}{rrr} -3&0&0\\ 0&-3&0\\ 0&0&-3 \end{array}\!\!\right]\right)\\ &=\frac{1}{6}\left[\!\!\begin{array}{rrr} 3&-3&-1\\ 30&-12&-14\\ -12&6&6 \end{array}\!\!\right].\end{aligned}$

最後我們討論三種逆矩陣算法的計算量。對於一個 $n\times n$ 階可逆矩陣 $A$ ，應用高斯─約當法計算 $A^{-1}$ 的計算量^[2]為 $n^3$ ，這與兩個 $n\times n$ 階矩陣相乘的計算量相同。利用伴隨矩陣計算逆矩陣則須計算一個 $n$ 階行列式以及 $n^2$ 個 $(n-1)$ 階行列式。若以高斯消去法計算 $n$ 階行列式 (如上例)，計算量為 $\frac{n^3}{3}$ ，故總計算量為 $\frac{n^3}{3}+\frac{n^2(n-1)^3}{3}\simeq \frac{n^5}{3}$ 。至於Cayley-Hamilton 定理給出的逆矩陣公式，除了計算一個 $n$ 階行列式，還要計算冪矩陣 $A^2,\ldots,A^{n-1}$ ，即便忽略組合係數，總計算量仍達 $\frac{n^3}{3}+(n-2)n^3\simeq n^4$ 。以上分析解釋了何以線性代數教科書鮮少列舉 $3\times 3$ 階或更高階矩陣的逆矩陣公式──雖然它們的外型簡單，但計算卻所耗不菲。

註解
[1] 假設 $AB=I$ 且 $CA=I$ 。寫出 $CAB=C(AB)=CI=C$ 和 $CAB=(CA)B=IB=B$ ，因此 $B=C$ ，證明 $A$ 的右逆等於左逆。假設 $AB=I$ 且 $AC=I$ 。後者等價於 $CA=I$ ，故得 $B=C$ ，證明右逆是唯一的。
[2] 一個加法與一個乘法合稱為一個計算。

	jianglong on Strassen 演算法──分治矩陣乘法
	jianglong on Strassen 演算法──分治矩陣乘法
	xmj on 內積的定義
	Ning ChingSan on 線性代數的第一堂課──矩陣乘法的定義
	momo on 兩岸線性代數用詞參照
	訪客 on 克拉瑪公式的簡易幾何證明

三階逆矩陣公式

Leave a comment Cancel reply

搜尋(繁體中文或英文)

訊息看板

近期文章

線性代數專欄

其他主題專欄

每週問題

數據充分性問題

其他分類

Recent Comments

近期最多人點閱

分類

Archives

標籤雲

線代線上影音課程

線代學習網站

線代電子書

矩陣計算器

LaTeX

Blogroll

訂閱

閱讀導引

學習資源

專題探究

急救查詢

其他分頁

Meta

網路狀態

Blog Stats

三階逆矩陣公式

Share this:

Leave a comment Cancel reply

搜尋(繁體中文或英文)

訊息看板

近期文章

線性代數專欄

其他主題專欄

每週問題

數據充分性問題

其他分類

Recent Comments

近期最多人點閱

分類

Archives

標籤雲

線代線上影音課程

線代學習網站

線代電子書

矩陣計算器

LaTeX

Blogroll

訂閱