交換子與可交換矩陣

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我們知道矩陣乘法不總是滿足交換律，即 $AB\neq BA$ ，其中 $A$ 和 $B$ 是 $n\times n$ 階矩陣。但如果 $AB=BA$ ，我們說 $A$ 和 $B$ 是可交換矩陣 (或對易矩陣)。當矩陣具備清晰的幾何意義時，無須計算也很容易判斷它們是否為可交換矩陣。譬如，在二維空間 $\mathbb{R}^2$ ，令旋轉矩陣 $R(\theta)$ 表示逆時針旋轉 $\theta$ 角，伸縮矩陣 $S(s_x,s_y)$ 表示 $X$ 軸伸縮 $s_x$ 倍， $Y$ 軸伸縮 $s_y$ 倍，如下 (見“幾何變換矩陣的設計”)：

$R(\theta)=\left[\!\!\begin{array}{cr} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{array}\!\!\right],~~~S(s_x,s_y)=\begin{bmatrix} s_x&0\\ 0&s_y \end{bmatrix}$ 。

從幾何直觀即可確定 $R(\theta)R(\phi)=R(\phi)R(\theta)=R(\theta+\phi)$ ，而且若 $s_x=s_y$ ，則 $R(\theta)S(s_x,s_y)=S(s_x,s_y)R(\theta)$ 。自然地，我們想探究：對於旋轉矩陣 $R(\theta)$ ，甚至任意矩陣 $A$ ，哪些 $B$ 滿足乘法交換律？不過說來奇怪，找尋可交換矩陣問題並不常見於線性代數教科書。原因是這個問題不值得討論，還是這個問題尚未被解決？值不值得討論屬於主觀認知，在此不予評論。不過客觀的事實是：僅使用基礎線性代數知識便可求出 $A$ 的所有可交換矩陣 $B$ 。為了探討可交換矩陣問題，我們定義交換子 (commutator，或稱對易算符) 為 $AB$ 與 $BA$ 的差，記為

$[A,B]=AB-BA$ 。

若 $[A,B]=0$ ，則 $AB=BA$ ， $A$ 和 $B$ 是可交換矩陣。明顯地， $[0,B]=0$ 且 $[I,B]=0$ ，零矩陣和單位矩陣與任何矩陣皆可交換。下面我先介紹交換子的運算法則，接著說明如何找尋矩陣 $A$ 的所有可交換矩陣，最後討論交換子與可交換矩陣的一些性質。

使用交換子定義很容易證明下列運算法則成立：

$[A,A^k]=0$ ， $k=0,1,\ldots$ 。
$[A,B]=[-A,-B]=-[B,A]$ ，稱為反交換律。
$[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0$ ，稱為 Jacobi 恆等式。
$[A,B+C]=[A,B]+[A,C]$ ， $[A+B,C]=[A,C]+[B,C]$ ，稱為分配律。
$[cA,B]=[A,cB]=c[A,B]$ ，其中 $c$ 是一純量。
$[A,BC]=[A,B]C+B[A,C]$ ， $[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B$ 。
$[A,B]^{\ast}=[B^\ast,A^\ast]$ ，其中 $(\cdot)^\ast$ 表示共軛轉置。

利用上述基本法則可以推導出更為複雜的法則。譬如，重複使用性質 (4)，可推得

$\begin{aligned} \left[A+B,C+D\right]&=[A+B,C]+[A+B,D]\\ &=[A,C]+[B,C]+[A,D]+[B,D].\end{aligned}$

重複使用性質 (6)，可得

$\begin{aligned} \left[AB,CD\right]&=A[B, CD]+[A,CD]B\\ &=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]DB+C[A,D]B, \end{aligned}$

以及

$\begin{aligned} \left[ABC, D\right] &=A[BC,D]+[A,D]BC\\ &=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC. \end{aligned}$

給定 $n\times n$ 階矩陣 $A$ ，如何求出所有的可交換矩陣 $X$ 使得 $AX=XA$ ？令 $\mathcal{M}_n$ 代表 $n\times n$ 階矩陣所形成的向量空間。對於 $A\in\mathcal{M}_n$ ，交換子可以視為一個從 $\mathcal{M}_n$ 映至 $\mathcal{M}_n$ 的變換

$T_A(X)=[A,X]=AX-XA$ 。

事實上， $T_A$ 是一個線性變換，證明於下：對於 $X, Y\in\mathcal{M}_n$ ，純量 $c$ ，利用交換子性質 (4) 與 (5)，

$\begin{aligned} T_A(X+Y)&=[A,X+Y]=[A,X]+[A,Y]=T_A(X)+T_A(Y)\\ T_A(cX)&=[A,cX]=c[A,X]=cT_A(X).\end{aligned}$

若 $X$ 滿足 $T_A(X)=AX-XA=0$ ，則 $A$ 和 $X$ 是可交換矩陣。所以齊次方程 $T_A(X)=0$ 的完整解，也就是線性變換 $T_A$ 的零空間 $N(T_A)$ ，即為 $A$ 的所有可交換矩陣形成的集合。下面舉一例說明計算程序。若

$A=\begin{bmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{bmatrix}$ ，

將 $X=\begin{bmatrix} w&x\\ y&z \end{bmatrix}$ 代入 $T_A(X)=0$ ，即有

$\begin{bmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} w&x\\ y&z \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} w&x\\ y&z \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} y&z-w\\ 0&-y \end{bmatrix}=0$ ，

解得 $z=w$ 且 $y=0$ ，故 $X=\begin{bmatrix} w&x\\ 0&w \end{bmatrix}$ ，其中 $w,x$ 是任意數。換句話說， $\left\{\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{bmatrix}\right\}$ 是 $A$ 的可交換矩陣集 (子空間) $N(T_A)$ 的一組基底。

當方陣 $A$ 的階數 $n$ 增大時，解出包含 $n^2$ 個未知數的線性方程組不免耗費大量的計算。然而， $N(T_A)$ 中存在一些顯而易見的可交換矩陣。考慮 $A$ 的矩陣多項式 $\sum_{k=0}^{n-1}c_kA^k$ ，利用交換子性質 (1)，(4) 和 (5)，可得

$\left[A,\sum_{k=0}^{n-1}c_kA^k\right]=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\left[A,c_kA^k\right]=\sum_{k=0}^{n-1}c_k\left[A,A^k\right]=0$ 。

矩陣 $A$ 和 $\sum_{k=0}^{n-1}c_kA^k$ 是可交換矩陣。為甚麼矩陣多項式的最高次冪是 $n-1$ ？根據 Cayley-Hamilton 定理：任一 $n\times n$ 階矩陣 $A$ 被其特徵多項式 $p_A(t)=\sum_{k=0}^np_kt^k$ 所消滅，意思是說 $p_A(A)=\sum_{k=0}^np_kA^k=0$ (見“Cayley-Hamilton 定理”)。任一 $A^m$ ， $m=0,1,\ldots$ ，寫出

$A^m=p_A(A)q(A)+r(A)=r(A)$ ，

其中 $q(A)$ 是商， $r(A)$ 是次冪最高為 $n-1$ 的餘式。上式等於告訴我們 $A$ 的任何矩陣多項式皆可以表示為 $\sum_{k=0}^{n-1}c_kA^k$ 。

反過來問：是不是 $A$ 的可交換矩陣 $X$ (即 $N(T_A)$ 的成員) 必為 $A$ 的 $n-1$ 次矩陣多項式？答案是否定的。不難舉出反例，譬如，若 $A=I$ ，任何 $X$ 都滿足 $T_I(X)=0$ ，即 $N(T_I)=\mathcal{M}_n$ ，但 $X$ 未必是對角矩陣。循環向量定理 (cyclic vector theorem) 給出 $N(T_A)$ 的成員限定是矩陣多項式 $\sum_{k=0}^{n-1}c_kA^k$ 的充要條件。以下陳述都是等價的：

$A$ 有一個循環向量。
$A$ 相似於一個相伴矩陣 (companion matrix)。
$A$ 的最小多項式即為其特徵多項式。
若 $A$ 和 $B$ 是可交換矩陣，則 $B$ 是由 $A$ 形成的矩陣多項式 $B=\sum_{k=0}^{n-1}c_kA^k$ 。

這個定理的證明相當艱深，在此不深入討論，有興趣的讀者請查閱“循環向量定理”。下面說明此定理的用途。上例， $A=\begin{bmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{bmatrix}$ 的最小多項式 (次數最小的消滅多項式) 和特徵多項式都是 $p_A(t)=(t-1)^2$ ，陳述 (c) 成立，故陳述 (d) 也成立， $N(T_A)$ 由 $I$ 和 $A$ 擴張而成。另外，陳述 (c) 包含一個特殊情形：如果 $A$ 有相異的特徵值 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ ，則 $A$ 的最小多項式等於特徵多項式 $p_A(t)=(t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_n)$ (見“最小多項式 (下)”)，這時 $A$ 的所有可交換矩陣即為 $N(T_A)=\mathrm{span}\{I,A,\ldots,A^{n-1}\}$ 。以本文最初給的二維空間的旋轉矩陣為例， $R(\theta)$ 有特徵值 $\cos\theta\pm i\sin\theta$ ，其中 $i=\sqrt{-1}$ 。若 $\theta\neq k\pi$ ， $k$ 是整數，則 $R(\theta)$ 有相異的特徵值，故 $R(\theta)$ 的所有可交換矩陣必為 $c_0I+c_1R(\theta)$ 。設 $c_0=s_x, c_1=0$ ，立得 $c_0I=S(s_x,s_x)$ 。但其中果真包含 $R(\phi)$ ？設 $c_0=\cos\phi-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\sin\phi, c_1=\frac{\sin\phi}{\sin\theta}$ ，即得 $c_0I+c_1R(\theta)=R(\phi)$ 。

從線性變換角度來看，交換子 $T_A(X)=[A,X]$ 具有甚麼性質？下面列舉跡數、特徵向量，以及 Hermitian 與 skew-Hermitian 矩陣等性質 (見“複數與矩陣的類比”)。

(T1) $\mathrm{trace}T_A(X)=0$

跡數 (trace) 是一個線性函數，利用循環不變性 (見“跡數的性質與應用”)，就有

$\mathrm{trace}T_A(X)=\mathrm{trace}[A,X]=\mathrm{trace}(AX-XA)=\mathrm{trace}(AX)-\mathrm{trace}(XA)=0$ 。

這個性質說明 $I$ 不屬於 $T_A$ 的值域，也就是說，不存在 $X$ 使得 $T_A(X)=I$ ，原因是 $\mathrm{trace}I=n>0$ 。

(T2) 若 $T_A(X)=\lambda X$ 且 $\lambda\neq 0$ ，則 $X$ 是不可逆的。

這個命題表明 $T_A$ 的非零特徵值所對應的特徵向量是不可逆矩陣。使用逆否命題法。假設 $X$ 是可逆的，則 $AX-XA=\lambda X$ 右乘 $X^{-1}$ 可得 $A-XAX^{-1}=\lambda I$ 。等號兩邊取跡數，利用循環不變性，左邊是

$\mathrm{trace}(A-XAX^{-1})=\mathrm{trace}A-\mathrm{trace}(XAX^{-1})=\mathrm{trace}A-\mathrm{trace}(AX^{-1}X)=0$ ，

右邊是 $\mathrm{trace}(\lambda I)=n\lambda$ ，即有 $\lambda=0$ ，故證得所求。

(T3) 若 $A$ 和 $X$ 是 Hermitian，則 $T_A(X)$ 是一個 skew-Hermitian 矩陣。

若 $A^\ast=A$ 且 $X^\ast=X$ ，利用交換子性質 (2) 和 (7)，

$(T_A(X))^\ast=[A,X]^{\ast}=[X^\ast,A^\ast]=[X,A]=-[A,X]=-T_A(X)$ 。

(T4) 若 $A$ 和 $X$ 是 skew-Hermitian，則 $T_A(X)$ 是一個 skew-Hermitian 矩陣。

若 $A^\ast=-A$ 且 $X^\ast=-X$ ，利用交換子性質 (2) 和 (7)，

$(T_A(X))^\ast=[A,X]^{\ast}=[X^\ast,A^\ast]=[-X,-A]=[X,A]=-[A,X]=-T_A(X)$ 。

(T5) 若 $A$ 是 Hermitian 且 $X$ 是 skew-Hermitian，則 $T_A(X)$ 是一個 Hermitian 矩陣。

若 $A^\ast=A$ 且 $X^\ast=-X$ ，利用交換子性質 (2)，(5) 和 (7)，

$(T_A(X))^\ast=[A,X]^{\ast}=[X^\ast,A^\ast]=[-X,A]=-[X,A]=[A,X]=T_A(X)$ 。

最後列舉幾個矩陣 $A$ 與其可交換矩陣 $X\in N(T_A)$ 共有的特徵性質，詳細內容請見相關文件。

共同的特徵向量： $A$ 和 $X$ 有一個共同的特徵向量。證明見“每週問題 September 20, 2010”。
同時可對角化：若 $A$ 和 $X$ 是可對角化矩陣，則存在一個可逆矩陣 $S$ 使得 $S^{-1}AS$ 和 $S^{-1}XS$ 同是對角矩陣。詳見“同時可對角化矩陣”。因為 $S$ 的行向量 (column vector) 即為 $A$ 和 $X$ 的特徵向量，故 $A$ 和 $X$ 有完全相同的特徵向量集。
同時可三角化：存在一個么正矩陣 (unitary matrix) $U$ 使得 $U^{\ast}AU$ 和 $U^{\ast}XU$ 同是上三角矩陣。詳見“同時可三角化矩陣”。

3 Responses to 交換子與可交換矩陣

范智忠 says:

04/12/2017 at 5:40 pm

請教老師個問題，這個問題困擾了我幾天，我覺得與方陣的可交換性有關，因此到此一問:
Let A and B be elements in M_n(C). if A^2B+BA^2=2ABA, show that(AB-BA)^n=0

- ccjou says:
  
  04/13/2017 at 8:58 am
  
  使用下文定理2以及trace的性質。
  
  特殊矩陣 (1)：冪零矩陣
  
  - 范智忠 says:
    
    04/13/2017 at 4:38 pm
    
    謝謝老師

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