矩陣分解

忽必烈大汗注意到馬可波羅的城市，彼此之間很類似，似乎從一個城市到另一個城市的移轉，不是旅程，而是元素的變換。現在，忽必烈大汗的心靈從馬可波羅描述的城市自行出發，在一點一點地拆解了這座城市之後，他以另一種方式重新構築，換掉組成部分，移動或翻轉它們。

───卡爾維諾 (Italo Calvino) 《看不見的城市》

 

與線性方程解有關的分解

LU 分解
適用對象：n\times n 階矩陣 A
分解形式：A=LU，L 是下三角方陣，U 是上三角方陣。注意，LU 分解未必總是存在。
QR 分解
適用對象：m\times n 階矩陣 A
分解形式：A=QR，Q 是 m\times m 階正交 (orthogonal) 矩陣，R 是 m\times n 階上三角矩陣。
Cholesky 分解
適用對象：n\times n 階實對稱正定矩陣 A
分解形式：A=GG^T，G 是下三角矩陣且主對角元皆為正數。
奇異值分解 (Singular value decomposition)
適用對象：m\times n 階矩陣 A
分解形式：A=U\Sigma V^{T}，U 是 m\times m 階正交矩陣，V 是 n\times n 階正交矩陣，\Sigma 是 m\times n 階對角矩陣且主對角元皆不為負數。若 A 是複矩陣，則 A=U\Sigma V^{\ast}，U 和 V 是么正 (unitary) 矩陣。

 

與特徵值有關的分解

譜分解 (Spectral decomposition)，或稱特徵分解或對角化
適用對象：n\times n 階矩陣 A
分解形式：A=S\Lambda S^{-1}，\Lambda 是由 A 的特徵值構成的對角矩陣，S 的行向量為對應的特徵向量。注意，譜分解未必總是存在。
正交譜分解，或稱正交對角化
適用對象：n\times n 階實對稱矩陣 (或 Hermitian 矩陣) A
分解形式：A=Q\Lambda Q^{T} (或 A=U\Lambda U^{\ast})，\Lambda 是由 A 的特徵值構成的對角矩陣，Q (或 U) 是正交矩陣 (或 么正矩陣) 其行向量為對應的特徵向量。
Schur 分解
適用對象：n\times n 階矩陣 A
分解形式：A=UTU^{\ast}，T 是上三角矩陣，U 是么交矩陣。
Jordan 分解
適用對象：n\times n 階矩陣 A
分解形式：A=MJM^{-1}，J 是 A 的 Jordan 形式，M 的行向量為對應的廣義特徵向量。

 

其他分解

極分解 (Polar decomposition)
適用對象：n\times n 階矩陣 A
分解形式：A=QS，Q 是正交矩陣，S 是半正定矩陣。若 A 是複矩陣，則 Q 是么正矩陣。
二對稱矩陣分解
適用對象：n\times n 階矩陣 A
分解形式：A=BC，B 是可逆對稱矩陣，C 是對稱矩陣。
秩分解
適用對象：m\times n 階矩陣 A
分解形式：A=XY，X 是 m\times r 階矩陣，Y 是 r\times n 階矩陣，r=\mathrm{rank}A。
等價標準型
適用對象：m\times n 階矩陣 A
分解形式：A=P\begin{bmatrix} I_r&0\\ 0&0 \end{bmatrix}Q，P 是 m\times m 階可逆矩陣，Q 是 n\times n 階可逆矩陣，r=\mathrm{rank}A。

1 Response to 矩陣分解

  1. wonderlandtommy says:
    06/08/2016 at 4:34 pm

    版主好，
    不只矩陣有分解，我從網路上找到三階張量分解：

    Click to access kolda_2008.pdf

    Click to access FCP_TSP_final_doublecol.pdf

    三階張量也具有rank，是矩陣的高維類比

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