答matrix67──關於二相似矩陣的行空間與零空間的關係

網友matrix67留言：

老師您好，二相似矩陣有相同的列空間和零空間嗎？因為二相似矩陣是同一個線性變換 $T$ 在不同基底下的表示矩陣，所以直觀上來想二相似矩陣的列空間應該都是 $\text{im}(T)$ ，零空間都是 $\ker(T)$ 。但是事實似乎不是的，那麼如何理解這個問題呢？同時那一個矩陣的列空間與零空間和線性變換的 image 與 kernel 是相同的呢？

答曰：

首先我說明矩陣基本子空間的命名規則。在台灣，橫向稱為列，縱向稱為行。在中國大陸，橫向稱為行，縱向稱為列。以下討論沿用台灣的慣例，也就是說，問題中的「列空間」改成「行空間」。給定一個 $m\times n$ 階實矩陣 $A$ ，對應的四個基本子空間記為：行空間 (column space) $C(A)$ ，列空間 (row space) $C(A^T)$ ，零空間 (nullspace) $N(A)$ ，和左零空間 (left nullspace) $N(A^T)$ 。在向量空間 $\mathbb{R}^m$ 中， $N(A^T)$ 是 $C(A)$ 的正交補餘；在向量空間 $\mathbb{R}^n$ 中， $C(A^T)$ 是 $N(A)$ 的正交補餘 (見“線性代數基本定理 (二)”)。因為這個緣故，我們只須專注於行空間和零空間。另外，以下內容如欲延伸至複矩陣，將轉置 $(\cdot)^T$ 替換為共軛轉置 $(\cdot)^\ast$ 即可。

令 $A$ 和 $B$ 為 $n\times n$ 階矩陣。如果存在一個可逆矩陣 $M$ 使得 $A=MBM^{-1}$ ，我們稱 $A$ 相似於 $B$ ，並稱 $M$ 為 $A$ 和 $B$ 之間的相似變換矩陣。相似變換是一種等價關係，許多重要的矩陣性質維持不變，如特徵值、行列式、跡數、矩陣秩，以及 Jordan 形式 (見“相似變換下的不變性質”)。

兩個相似矩陣的行空間和零空間是否相同？先看一個特殊情況。如果 $A$ 是一個純量矩陣，即 $A=cI$ ，這裡 $c$ 是任何數， $I$ 是單位矩陣，則 $B=M^{-1}AM=M^{-1}(cI)M=cI=A$ 。任一純量矩陣僅與其自身相似，純量矩陣的「相似家族」(包含與其相似的所有矩陣) 只有一個成員，自然所有的矩陣性質維持不變。除了純量矩陣外，任何矩陣 $A$ 所屬的「相似家族」必定包含無窮多個成員 (因為相似變換矩陣 $M$ 可隨意選擇)。

以下考慮非純量矩陣，分開兩個情況討論。若 $A$ 是可逆矩陣， $\text{rank}A=n$ ，則 $C(A)=\mathbb{R}^n$ 且 $N(A)=\{\mathbf{0}\}$ 。如果 $B$ 相似於 $A$ ，則 $\text{rank}B=\text{rank}A$ ，也就有 $C(B)=\mathbb{R}^n$ 且 $N(B)=\{\mathbf{0}\}$ 。因此，每一個可逆矩陣所屬的「相似家族」的行空間為 $\mathbb{R}^n$ ，零空間為 $\{\mathbf{0}\}$ 。若 $A$ 是不可逆矩陣， $\text{rank}A<n$ ，那麼 $B=M^{-1}AM$ 和 $A$ 是否也有相同的行空間和零空間？答案是否定的。很容易舉出反例，譬如， $A=\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{bmatrix}$ ， $M=\begin{bmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{bmatrix}$ ，可得 $B=M^{-1}AM=\begin{bmatrix} 0&0\\ 0&1 \end{bmatrix}$ ，也就有

$\displaystyle C(A)=\text{span}\left\{\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}\right\},~~ N(A)=\text{span}\left\{\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\right\},$

$\displaystyle C(B)=\text{span}\left\{\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\right\},~~ N(B)=\text{span}\left\{\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}\right\}$ 。

對於不可逆矩陣 $A$ ，如何理解 $B=M^{-1}AM$ 和 $A$ 有不同的行空間和零空間？這個問題可以拆解為兩個子問題： $M^{-1}A$ 和 $A$ 的行空間以及零空間有甚麼關係？ $AM$ 和 $A$ 的行空間以及零空間又有甚麼關係？因為 $M$ 是可逆矩陣，下面性質成立 (相關討論見“矩陣乘積的子空間分析”)：

$C(AM)=C(A)$

若 $\mathbf{x}\in C(A)$ ，則存在 $\mathbf{y}$ 使得 $\mathbf{x}=A\mathbf{y}$ 。令 $\mathbf{z}=M^{-1}\mathbf{y}$ 。合併前面兩式，可得 $\mathbf{x}=AM\mathbf{z}$ ，故 $\mathbf{x}\in C(AM)$ 。若 $\mathbf{x}\in C(AM)$ ，則存在 $\mathbf{z}$ 使得 $\mathbf{x}=AM\mathbf{z}$ 。令 $\mathbf{y}=M\mathbf{z}$ 。合併前面兩式，可得 $\mathbf{x}=A\mathbf{y}$ ，故 $\mathbf{x}\in C(A)$ 。

$N(M^{-1}A)=N(A)$

若 $\mathbf{x}\in N(A)$ ，即 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ ，左乘 $M^{-1}$ ，可得 $M^{-1}A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ ，故 $\mathbf{x}\in N(M^{-1}A)$ 。若 $\mathbf{x}\in N(M^{-1}A)$ ，即 $M^{-1}A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ ，左乘 $M$ ，可得 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ ，故 $\mathbf{x}\in N(A)$ 。

另一方面，如前例所示，存在一個可逆矩陣 $M$ 使得

$\displaystyle C(M^{-1}A)\neq C(A),~~N(AM)\neq N(A)$ 。

以上結果說明

$\displaystyle C(M^{-1}AM)\neq C(AM)=C(A),~~N(M^{-1}AM)=N(AM)\neq N(A)$ 。

兩個相似不可逆矩陣有不同的行空間和零空間，但它們之間是否存在某種關係？我們可以從線性變換表示矩陣來探討這個問題。令 $\mathcal{V}$ 為一個有限維向量空間， $\dim \mathcal{V}=n$ ，且 $T:\mathcal{V}\to\mathcal{V}$ 為一個線性算子。假設 $\boldsymbol{\beta}=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\}$ 是 $\mathcal{V}$ 的一組基底。對於每一 $\mathbf{x}\in\mathcal{V}$ ，存在唯一數組 $(c_1,\ldots,c_n)$ 使得 $\mathbf{x}=c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_n\mathbf{v}_n$ 。習慣上，我們將 $\mathbf{x}$ 參考基底 $\boldsymbol{\beta}$ 的座標向量記作 $[\mathbf{x}]_{\boldsymbol{\beta}}=(c_1,\ldots,c_n)^T$ 。明顯地，向量 $\mathbf{x}\in\mathcal{V}$ 和座標向量 $[\mathbf{x}]_{\boldsymbol{\beta}}\in\mathbb{R}^n$ 有一對一的對應關係，我們說座標映射 $[\cdot]_{\boldsymbol{\beta}}$ 是一個同構映射 (isomorphism)。從向量空間的層次來說，向量空間 $\mathcal{V}$ 和幾何座標空間 $\mathbb{R}^n$ 是同構的 (見“同構的向量空間”)，記為 $\mathcal{V}\cong\mathbb{R}^n$ 。淺白地說，蘋果和橘子不同，但如果蘋果和橘子具有一對一的對應關係 (譬如，每一顆蘋果和每一個橘子都貼上號碼)，那麼我們說一箱蘋果和相同數量的一籃橘子是同構的。假設

$\displaystyle T(\mathbf{v}_j)=a_{1j}\mathbf{v}_1+\cdots+a_{nj}\mathbf{v}_n,~~j=1,\ldots,n$ ，

則線性算子 $T$ 參考 $\boldsymbol{\beta}$ 的表示矩陣為 (見“線代膠囊──線性變換表示矩陣”)

$\displaystyle A=[T]_{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn} \end{bmatrix}$ 。

如果以線性變換表示矩陣 $A$ 取代 $T$ ，則 $\mathbf{x}$ 經過 $T$ 映射的像 (image) $T(\mathbf{x})$ 可轉換為矩陣運算 $\displaystyle \begin{bmatrix} T(\mathbf{x}) \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}=A[\mathbf{x}]_{\boldsymbol{\beta}}$ ，見下圖：

線性算子 $T$ 和表示矩陣 $A$ 是同一件事情的兩種表述。我們將線性算子 $T$ 的值域 (image 或 range) 記為 $\text{im}(T)$ 或 $\text{ran}(T)$ ， $T$ 的核 (kernel) 記為 $\ker(T)$ (見“線性變換與矩陣的用語比較”)。因為 $\text{im}(T)$ 和 $\ker(T)$ 是 $\mathcal{V}$ 的子空間，而 $C(A)$ 和 $N(A)$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的子空間，「那一個表示矩陣的行空間與零空間和線性變換的值域與核是相同的？」是一個錯誤的問題 (好比一箱蘋果和一籃橘子不相同)。正確的問法是：那一個表示矩陣的行空間與零空間和線性變換的值域與核是同構的？答案是通通有獎。對於 $\mathcal{V}$ 的任意基底 $\boldsymbol{\beta}$ ，座標映射 $[\cdot]_{\boldsymbol{\beta}}$ 是一個同構，由此可知 $\text{im}(T)\cong C(A)$ 且 $\ker(T)\cong N(A)$ 。

如果向量空間 $\mathcal{V}$ 有第二組基底 $\boldsymbol{\gamma}=\{\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_n\}$ 且

$\displaystyle T(\mathbf{w}_j)=b_{1j}\mathbf{w}_1+\cdots+b_{nj}\mathbf{w}_n,~~j=1,\ldots,n$ ，

則 $T$ 參考 $\boldsymbol{\gamma}$ 的表示矩陣為

$\displaystyle B=[T]_{\boldsymbol{\gamma}}=\begin{bmatrix} b_{11}&\cdots&b_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ b_{n1}&\cdots&b_{nn} \end{bmatrix}$ 。

同樣地，線性算子 $T$ 參考基底 $\boldsymbol{\gamma}$ 的矩陣實現可用下圖表示：

參考不同基底的表示矩陣 $A$ 和 $B$ 有甚麼關係？寫出兩組基底的映射關係式 (見“圖解基底變換、座標變換、相似變換與相似矩陣”)

$\displaystyle \mathbf{w}_j=\phi(\mathbf{v}_j)=m_{1j}\mathbf{v}_1+\cdots+m_{nj}\mathbf{v}_n,~~~j=1,\ldots,n$ ，

利用上式計算

$\displaystyle \begin{aligned} T(\mathbf{w}_j)&=T\left(\phi(\mathbf{v}_j)\right)=T\left(\sum_{k=1}^nm_{kj}\mathbf{v}_k\right)\\ &=\sum_{k=1}^nm_{kj}T(\mathbf{v}_k)=\sum_{k=1}^nm_{kj}\sum_{i=1}^na_{ik}\mathbf{v}_i\\ &=\sum_{i=1}^n\left(\sum_{k=1}^na_{ik}m_{kj}\right)\mathbf{v}_i.\end{aligned}$

另一方面，從已知的 $T(\mathbf{w}_j)$ 的線性組合表達式出發，亦可得

$\displaystyle\begin{aligned} T(\mathbf{w}_j)&=\sum_{k=1}^nb_{kj}\mathbf{w}_k=\sum_{k=1}^nb_{kj}\phi(\mathbf{v}_k)\\ &=\sum_{k=1}^nb_{kj}\sum_{i=1}^nm_{ik}\mathbf{v}_i=\sum_{i=1}^n\left(\sum_{k=1}^nm_{ik}b_{kj}\right)\mathbf{v}_i. \end{aligned}$

比較兩式的係數，

$\displaystyle \sum_{k=1}^na_{ik}m_{kj}=\sum_{k=1}^nm_{ik}b_{kj},~~~i,j=1,\ldots,n$ 。

令 $M=[m_{ij}]$ 為一個 $n\times n$ 階可逆矩陣 (兩組基底之間的映射必定可逆)。因為 $A=[a_{ij}]$ 且 $B=[b_{ij}]$ ，上式可寫成矩陣形式 $AM=MB$ ，即 $B=M^{-1}AM$ 。這是一個非常重要的結果：兩相似矩陣是某一線性算子參考不同基底的表示矩陣。同構是一種等價關係。因為 $\text{im}(T)\cong C(A)$ 且 $\text{im}(T)\cong C(B)$ ，可知 $C(A)\cong C(B)$ 。同樣道理， $\ker(T)\cong N(A)$ 且 $\ker(T)\cong N(B)$ ，可知 $N(A)\cong N(B)$ 。所以，兩相似矩陣有同構的行空間和零空間。

經過以上討論，「相似家族」的行空間和零空間性質已然梳理清楚。假設 $A$ 和 $B$ 是線性算子 $T:\mathcal{V}\to\mathcal{V}$ 參考不同基底的 $n\times n$ 階表示矩陣， $M$ 是兩組基底變換的表示矩陣，則 $B=M^{-1}AM$ ，且下列性質成立:

純量矩陣僅與其自身相似。若每一 $\mathbf{x}\in\mathcal{V}$ ， $T(\mathbf{x})=c\mathbf{x}$ ，則不論選擇那個基底， $T$ 有唯一的表示矩陣 $cI$ 。
非純量矩陣的「相似家族」包含無窮多個成員。
若 $A$ 是可逆矩陣，則 $A$ 和 $B$ 有相同的行空間 $\mathbb{R}^n$ ，以及相同的零空間 $\{\mathbf{0}\}$ 。
若 $A$ 是不可逆矩陣，則 $A$ 和 $B$ 未必有相同的行空間和零空間，原因是存在可逆矩陣 $M$ 使得 $C(M^{-1}A)\neq C(A)$ 且 $N(AM)\neq N(A)$ 。
線性算子 $T$ 的值域 $\text{im}(T)$ 同構於表示矩陣 $A$ 的行空間 $C(A)$ ，線性算子 $T$ 的核 $\ker(T)$ 同構於表示矩陣 $A$ 的零空間 $N(A)$ 。
對於線性算子 $T$ ，所有的表示矩陣組成的「相似家族」有同構的行空間和零空間。

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