答matrix67──關於二相似矩陣的行空間與零空間的關係

網友matrix67留言:

老師您好,二相似矩陣有相同的列空間和零空間嗎?因為二相似矩陣是同一個線性變換 T 在不同基底下的表示矩陣,所以直觀上來想二相似矩陣的列空間應該都是 \text{im}(T),零空間都是 \ker(T)。但是事實似乎不是的,那麼如何理解這個問題呢?同時那一個矩陣的列空間與零空間和線性變換的 image 與 kernel 是相同的呢?

 
答曰:

首先我說明矩陣的基本子空間命名規則。在台灣,橫向稱為列,縱向稱為行。在中國大陸,橫向稱為行,縱向稱為列。以下討論沿用台灣的慣例,也就是說,問題中的「列空間」改成「行空間」。給定一個 m\times n 階實矩陣 A,四個基本子空間記為:行空間 (column space) C(A),列空間 (row space) C(A^T),零空間 (nullspace) N(A),和左零空間 (left nullspace) N(A^T)。在 \mathbb{R}^m 中,N(A^T)C(A) 的正交補餘;在 \mathbb{R}^n 中,C(A^T)N(A) 的正交補餘 (見“線性代數基本定理 (二)”)。因為這個緣故,我們只須專注於行空間和零空間。另外,以下內容如欲延伸至複矩陣,將轉置 (\cdot)^T 替換為共軛轉置 (\cdot)^\ast 即可。

 
ABn\times n 階矩陣。如果存在一個可逆矩陣 M 使得 A=MBM^{-1},我們稱 A 相似於 B,並稱 MAB 之間的相似變換矩陣。相似變換是一種等價關係,許多重要的矩陣性質維持不變,如特徵值、行列式、跡數、矩陣秩,以及 Jordan 形式 (見“相似變換下的不變性質”)。

 
兩相似矩陣的行空間和零空間是否相同?先看一個特殊情況。如果 A 是純量矩陣,即 A=cIc 為任何數,則 B=M^{-1}AM=M^{-1}(cI)M=cI=A。任一純量矩陣僅與其自身相似,純量矩陣的「相似家族」(包含與其相似的所有矩陣) 只有一個成員,自然所有的矩陣性質維持不變。除了純量矩陣外,任何矩陣 A 所屬的「相似家族」必定包含無窮多個成員 (因為相似變換矩陣 M 可隨意選擇)。

 
以下考慮非純量矩陣,分開兩個情況討論。若 A 是可逆矩陣,\text{rank}A=n,則 C(A)=\mathbb{R}^nN(A)=\{\mathbf{0}\}。如果 B 相似於 A,則 \text{rank}B=\text{rank}A,也就有 C(B)=\mathbb{R}^nN(B)=\{\mathbf{0}\}。因此,每一個可逆矩陣所屬的「相似家族」的行空間為 \mathbb{R}^n,零空間為 \{\mathbf{0}\}。若 A 是不可逆矩陣,\text{rank}A<n,那麼 B=M^{-1}AMA 是否也有相同的行空間和零空間?答案是否定的。很容易舉出反例,譬如,A=\begin{bmatrix}  1&0\\  0&0  \end{bmatrix}M=\begin{bmatrix}  0&1\\  1&0  \end{bmatrix},可得 B=M^{-1}AM=\begin{bmatrix}  0&0\\  0&1  \end{bmatrix},也就有

\displaystyle  C(A)=\text{span}\left\{\begin{bmatrix}  1\\  0  \end{bmatrix}\right\},~~ N(A)=\text{span}\left\{\begin{bmatrix}  0\\  1  \end{bmatrix}\right\},

\displaystyle  C(B)=\text{span}\left\{\begin{bmatrix}  0\\  1  \end{bmatrix}\right\},~~ N(B)=\text{span}\left\{\begin{bmatrix}  1\\  0  \end{bmatrix}\right\}

 
對於不可逆矩陣 A,如何理解 B=M^{-1}AMA 有不同的行空間和零空間?這個問題可以拆解為兩個子問題:M^{-1}AA 的行空間以及零空間有甚麼關係?AMA 的行空間以及零空間又有甚麼關係?因為 M 是可逆矩陣,下面性質成立 (相關討論見“矩陣乘積的子空間分析”):

  1. C(AM)=C(A)

    \mathbf{x}\in C(A),則存在 \mathbf{y} 使得 \mathbf{x}=A\mathbf{y}。令 \mathbf{z}=M^{-1}\mathbf{y}。合併前面兩式,可得 \mathbf{x}=AM\mathbf{z},故 \mathbf{x}\in C(AM)。若 \mathbf{x}\in C(AM),則存在 \mathbf{z} 使得 \mathbf{x}=AM\mathbf{z}。令 \mathbf{y}=M\mathbf{z}。合併前面兩式,可得 \mathbf{x}=A\mathbf{y},故 \mathbf{x}\in C(A)

  2. N(M^{-1}A)=N(A)

    \mathbf{x}\in N(A),即 A\mathbf{x}=\mathbf{0},左乘 M^{-1},可得 M^{-1}A\mathbf{x}=\mathbf{0},故 \mathbf{x}\in N(M^{-1}A)。若 \mathbf{x}\in N(M^{-1}A),即 M^{-1}A\mathbf{x}=\mathbf{0},左乘 M,可得 A\mathbf{x}=\mathbf{0},故 \mathbf{x}\in N(A)

另一方面,如前例所示,存在一個可逆矩陣 M 使得

\displaystyle  C(M^{-1}A)\neq C(A),~~N(AM)\neq N(A)

以上結果說明

\displaystyle  C(M^{-1}AM)\neq C(AM)=C(A),~~N(M^{-1}AM)=N(AM)\neq N(A)

 
兩個相似不可逆矩陣有不同的行空間和零空間,但它們之間是否存在某種關係?我們可以從線性變換表示矩陣來探討這個問題。令 \mathcal{V} 為一個有限維向量空間,\dim \mathcal{V}=n,且 T:\mathcal{V}\to\mathcal{V} 為一個線性算子。假設 \boldsymbol{\beta}=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\}\mathcal{V} 的一組基底。對於每一 \mathbf{x}\in\mathcal{V},存在唯一數組 (c_1,\ldots,c_n) 使得 \mathbf{x}=c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_n\mathbf{v}_n。習慣上,我們將 \mathbf{x} 參考基底 \boldsymbol{\beta} 的座標向量記作 [\mathbf{x}]_{\boldsymbol{\beta}}=(c_1,\ldots,c_n)^T。明顯地,向量 \mathbf{x}\in\mathcal{V} 和座標向量 [\mathbf{x}]_{\boldsymbol{\beta}}\in\mathbb{R}^n 有一對一的對應關係,我們說座標映射 [\cdot]_{\boldsymbol{\beta}} 是一個同構映射 (isomorphism)。從向量空間的層次來說,向量空間 \mathcal{V} 和幾何座標空間 \mathbb{R}^n 是同構的 (見“同構的向量空間”),記為 \mathcal{V}\cong\mathbb{R}^n。淺白地說,蘋果和橘子不同,但如果蘋果和橘子具有一對一的對應關係 (譬如,每一顆蘋果和每一個橘子都貼上號碼),那麼我們說一箱蘋果和相同數量的一籃橘子是同構的。假設

\displaystyle  T(\mathbf{v}_j)=a_{1j}\mathbf{v}_1+\cdots+a_{nj}\mathbf{v}_n,~~j=1,\ldots,n

則線性算子 T 參考 \boldsymbol{\beta} 的表示矩陣為 (見“線代膠囊──線性變換表示矩陣”)

\displaystyle  A=[T]_{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix}  a_{11}&\cdots&a_{1n}\\  \vdots&\ddots&\vdots\\  a_{n1}&\cdots&a_{nn}  \end{bmatrix}

如果以線性變換表示矩陣 A 取代 T,則 \mathbf{x} 經過 T 映射的像 (image) T(\mathbf{x}) 可轉換為矩陣運算 \displaystyle  \begin{bmatrix}  T(\mathbf{x})  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}=A[\mathbf{x}]_{\boldsymbol{\beta}},見下圖:

相似矩陣的行空間1

線性算子 T 和表示矩陣 A 是同一件事情的兩種表述。我們將線性算子 T 的值域 (image 或 range) 記為 \text{im}(T)\text{ran}(T)T 的核 (kernel) 記為 \ker(T) (見“線性變換與矩陣的用語比較”)。因為 \text{im}(T)\ker(T)\mathcal{V} 的子空間,而 C(A)N(A)\mathbb{R}^n 的子空間,「那一個表示矩陣的行空間與零空間和線性變換的值域與核是相同的?」是一個錯誤的問題 (好比一箱蘋果和一籃橘子不相同)。正確的問法是:那一個表示矩陣的行空間與零空間和線性變換的值域與核是同構的?答案是通通有獎。對於 \mathcal{V} 的任意基底 \boldsymbol{\beta},座標映射 [\cdot]_{\boldsymbol{\beta}} 是一個同構,由此可知 \text{im}(T)\cong C(A)\ker(T)\cong N(A)

 
如果向量空間 \mathcal{V} 有第二組基底 \boldsymbol{\gamma}=\{\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_n\}

\displaystyle  T(\mathbf{w}_j)=b_{1j}\mathbf{w}_1+\cdots+b_{nj}\mathbf{w}_n,~~j=1,\ldots,n

T 參考 \boldsymbol{\gamma} 的表示矩陣為

\displaystyle  B=[T]_{\boldsymbol{\gamma}}=\begin{bmatrix}  b_{11}&\cdots&b_{1n}\\  \vdots&\ddots&\vdots\\  b_{n1}&\cdots&b_{nn}  \end{bmatrix}

同樣地,線性算子 T 參考基底 \boldsymbol{\gamma} 的矩陣實現可用下圖表示:

相似矩陣的行空間2

 
參考不同基底的表示矩陣 AB 有甚麼關係?寫出兩組基底的映射關係式 (見“圖解基底變換、座標變換、相似變換與相似矩陣”)

\displaystyle  \mathbf{w}_j=\phi(\mathbf{v}_j)=m_{1j}\mathbf{v}_1+\cdots+m_{nj}\mathbf{v}_n,~~~j=1,\ldots,n

利用上式計算

\displaystyle \begin{aligned}  T(\mathbf{w}_j)&=T\left(\phi(\mathbf{v}_j)\right)=T\left(\sum_{k=1}^nm_{kj}\mathbf{v}_k\right)\\  &=\sum_{k=1}^nm_{kj}T(\mathbf{v}_k)=\sum_{k=1}^nm_{kj}\sum_{i=1}^na_{ik}\mathbf{v}_i\\  &=\sum_{i=1}^n\left(\sum_{k=1}^na_{ik}m_{kj}\right)\mathbf{v}_i.\end{aligned}

另一方面,從已知的 T(\mathbf{w}_j) 的線性組合表達式出發,亦可得

\displaystyle\begin{aligned}  T(\mathbf{w}_j)&=\sum_{k=1}^nb_{kj}\mathbf{w}_k=\sum_{k=1}^nb_{kj}\phi(\mathbf{v}_k)\\  &=\sum_{k=1}^nb_{kj}\sum_{i=1}^nm_{ik}\mathbf{v}_i=\sum_{i=1}^n\left(\sum_{k=1}^nm_{ik}b_{kj}\right)\mathbf{v}_i.  \end{aligned}

比較兩式的係數,

\displaystyle    \sum_{k=1}^na_{ik}m_{kj}=\sum_{k=1}^nm_{ik}b_{kj},~~~i,j=1,\ldots,n

M=[m_{ij}] 為一個 n\times n 階可逆矩陣 (兩組基底之間的映射必定可逆)。因為 A=[a_{ij}]B=[b_{ij}],上式可寫成矩陣形式 AM=MB,即 B=M^{-1}AM。這是一個非常重要的結果:兩相似矩陣是某一線性算子參考不同基底的表示矩陣。同構是一種等價關係。因為 \text{im}(T)\cong C(A)\text{im}(T)\cong C(B),可知 C(A)\cong C(B)。同樣道理,\ker(T)\cong N(A)\ker(T)\cong N(B),可知 N(A)\cong N(B)。所以,兩相似矩陣有同構的行空間和零空間。

 
經過以上討論,「相似家族」的行空間和零空間性質已然梳理清楚。假設 AB 是線性算子 T:\mathcal{V}\to\mathcal{V} 參考不同基底的 n\times n 階表示矩陣,M 是兩組基底變換的表示矩陣,則 B=M^{-1}AM,且下列性質成立:

  1. 純量矩陣僅與其自身相似。若每一 \mathbf{x}\in\mathcal{V}T(\mathbf{x})=c\mathbf{x},則不論選擇那個基底,T 有唯一的表示矩陣 cI
  2. 非純量矩陣的「相似家族」包含無窮多個成員。
  3. A 是可逆矩陣,則 AB 有相同的行空間 \mathbb{R}^n,以及相同的零空間 \{\mathbf{0}\}
  4. A 是不可逆矩陣,則 AB 未必有相同的行空間和零空間,原因是存在可逆矩陣 M 使得 C(M^{-1}A)\neq C(A)N(AM)\neq N(A)
  5. 線性算子 T 的值域 \text{im}(T) 同構於表示矩陣 A 的行空間 C(A),線性算子 T 的核 \ker(T) 同構於表示矩陣 A 的零空間 N(A)
  6. 對於線性算子 T,所有的表示矩陣組成的「相似家族」有同構的行空間和零空間。
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