四元數與三維空間旋轉

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愛爾蘭數學家哈密頓 (William Rowan Hamilton) 將複數 $z=a+bi$ ，其中 $a,b$ 是實數， $i=\sqrt{-1}$ 是虛數單位，延伸為四元數 (quaternion)，即一個實數加上三個虛部，

$\displaystyle q=a+bi+cj+dk$ ，

其中 $a,b,c,d$ 是實數，虛數單位 $i,j,k$ 滿足基本公式

$\displaystyle i^2=j^2=k^2=ijk=-1$ 。

任一複數 $z$ 與單位複數 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ 的乘積 $ze^{i\theta}$ 可以解讀為點 $z$ 在二維複數平面逆時針旋轉 $\theta$ 徑度 (見“複數的矩陣表示”)。類似地，四元數亦可表示三維空間旋轉，不過這個性質不像複數蘊含平面旋轉那般明顯，因為實在難以想像處於 $\mathbb{R}^4$ 的四元數如何對 $\mathbb{R}^3$ 向量執行運算。

我們先回顧四元數的表達與基本運算 (見“四元數”)。為了便利解決幾何問題，不妨將四元數 $q=a+bi+cj+dk$ 視為純量─向量和 $q=a+\mathbf{v}$ ，其中 $\mathbf{v}=(b,c,d)\in\mathbb{R}^3$ ，因此三維向量 $\mathbf{v}$ 可以看成實部 (純量) 為零的四元數。對於 $q_1=a_1+\mathbf{v}_1$ 和 $q_2=a_2+\mathbf{v}_2$ ，四元數加法分別計算純量與向量加法：

$\displaystyle q_1+q_2=(a_1+\mathbf{v}_1)+(a_2+\mathbf{v}_2)=(a_1+a_2)+(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)$ 。

使用四元數的虛數單位的基本公式可推導出乘法運算規則 (見附註^[1])：

$\displaystyle q_1q_2=(a_1+\mathbf{v}_1)(a_2+\mathbf{v}_2)=(a_1a_2-\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2)+(a_1\mathbf{v}_2+a_2\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2)$ ，

其中 $\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2$ 是點積 (dot product)， $\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2$ 是向量積 (外積，cross product)。另一方面，利用分配律，

$\displaystyle q_1q_2=(a_1+\mathbf{v}_1)(a_2+\mathbf{v}_2)=a_1a_2+a_1\mathbf{v}_2+a_2\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_1\mathbf{v}_2$ 。

比較上面兩式，我們可以定義「向量乘法」

$\displaystyle \mathbf{v}_1\mathbf{v}_2=\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2$ 。

表面上，這個運算非常奇怪，因為 $\mathbf{v}_1\mathbf{v}_2$ 既非向量也不是純量。所謂的「向量乘法」其實是四元數乘法， $\mathbf{v}_1\mathbf{v}_2=(0+\mathbf{v}_1)(0+\mathbf{v}_2)$ ，所以「向量乘法」僅有形式上的意義，並不具備幾何意義。以純量─向量和表示的四元數 $q=a+\mathbf{v}$ 的共軛、絕對值以及逆元分別為

$\displaystyle\begin{aligned} q^\ast&=a-\mathbf{v}\\ \vert q\vert&=\sqrt{a^2+\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}}=\sqrt{a^2+\Vert\mathbf{v}\Vert^2}\\ q^{-1}&=\frac{q^\ast}{\vert q\vert^2}=\frac{a-\mathbf{v}}{a^2+\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}}.\end{aligned}$

透過四元數乘法，我們可以設計出定義於 $\mathbb{R}^3$ 的線性變換。給定一個四元數 $q=a+\mathbf{v}$ ，定義 $L_q:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ ，如下：

$\displaystyle L_q(\mathbf{x})=q\mathbf{x}q^\ast$ ，

其中 $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^3$ 當作實部等於零的四元數 $0+\mathbf{x}$ 。套用四元數乘法運算規則，以及外積恆等式 $(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{a}=0$ 和 $\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})-\mathbf{c}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})$ (見“答張盛東──關於外積與行列式的關係”)，其中 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\in\mathbb{R}^3$ ，可得

$\displaystyle\begin{aligned} q\mathbf{x}q^\ast&=(a+\mathbf{v})(0+\mathbf{x})(a-\mathbf{v})\\ &=(-\mathbf{v}\cdot\mathbf{x}+a\mathbf{x}+\mathbf{v}\times\mathbf{x})(a-\mathbf{v})\\ &=-(\mathbf{v}\cdot\mathbf{x})a-(a\mathbf{x}+\mathbf{v}\times\mathbf{x})\cdot(-\mathbf{v})+(-\mathbf{v}\cdot\mathbf{x})(-\mathbf{v})\\ &~~~~+a(a\mathbf{x}+\mathbf{v}\times\mathbf{x})+(a\mathbf{x}+\mathbf{v}\times\mathbf{x})\times(-\mathbf{v})\\ &=-(\mathbf{v}\cdot\mathbf{x})a+a(\mathbf{x}\cdot\mathbf{v})+(\mathbf{v}\times\mathbf{x})\cdot\mathbf{v}+(\mathbf{v}\cdot\mathbf{x})\mathbf{v}\\ &~~~~+a^2\mathbf{x}+a(\mathbf{v}\times\mathbf{x})-a(\mathbf{x}\times\mathbf{v})-(\mathbf{v}\times\mathbf{x})\times\mathbf{v}\\ &=(\mathbf{v}\cdot\mathbf{x})\mathbf{v}+a^2\mathbf{x}+2a(\mathbf{v}\times\mathbf{x})-\mathbf{x}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v})+\mathbf{v}(\mathbf{x}\cdot\mathbf{v})\\ &=(a^2-\Vert\mathbf{v}\Vert^2)\mathbf{x}+2(\mathbf{v}\cdot\mathbf{x})\mathbf{v}+2a(\mathbf{v}\times\mathbf{x}), \end{aligned}$

故證明 $L_q(\mathbf{x})\in\mathbb{R}^3$ 。下面列舉 $L_q$ 的三個重要性質。

$L_q:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ 是一個線性變換，也就是說，對於任意 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{R}^3$ 和純量 $\alpha\in\mathbb{R}$ ，

$\displaystyle L_q(\mathbf{x}+\mathbf{y})=L_q(\mathbf{x})+L_q(\mathbf{y}),~~~L_q(\alpha\mathbf{x})=\alpha L_q(\mathbf{x})$ 。

使用上述 $L_q(\mathbf{x})$ 的展開式，

$\displaystyle\begin{aligned} L_q(\mathbf{x}+\mathbf{y})&=(a^2-\Vert\mathbf{v}\Vert^2)(\mathbf{x}+\mathbf{y})+2(\mathbf{v}\cdot(\mathbf{x}+\mathbf{y}))\mathbf{v}+2a(\mathbf{v}\times(\mathbf{x}+\mathbf{y}))\\ &=(a^2-\Vert\mathbf{v}\Vert^2)\mathbf{x}+(a^2-\Vert\mathbf{v}\Vert^2)\mathbf{y}+2(\mathbf{v}\cdot\mathbf{x})\mathbf{v}+2(\mathbf{v}\cdot\mathbf{y})\mathbf{v}+2a(\mathbf{v}\times\mathbf{x})+2a(\mathbf{v}\times\mathbf{y})\\ &=L_q(\mathbf{x})+L_q(\mathbf{y}) \end{aligned}$

且

$\displaystyle\begin{aligned} L_q(\alpha\mathbf{x})&=(a^2-\Vert\mathbf{v}\Vert^2)(\alpha\mathbf{x})+2(\mathbf{v}\cdot(\alpha\mathbf{x}))\mathbf{v}+2a(\mathbf{v}\times(\alpha\mathbf{x}))\\ &=\alpha(a^2-\Vert\mathbf{v}\Vert^2)\mathbf{x}+2\alpha(\mathbf{v}\cdot\mathbf{x})\mathbf{v}+2\alpha a(\mathbf{v}\times\mathbf{x})\\ &=\alpha L_q(\mathbf{x}). \end{aligned}$
若 $q=a+\mathbf{v}$ 為單位四元數，即 $\vert q\vert=1$ ，則每一 $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^3$ 滿足 $\Vert L_q(\mathbf{x})\Vert=\Vert\mathbf{x}\Vert$ 。
直接計算即可驗證，如下：

$\displaystyle \Vert L_q(\mathbf{x})\Vert=\Vert q\mathbf{x}q^\ast\Vert=\vert q\vert~\Vert\mathbf{x}\Vert~\vert q^\ast\vert=\Vert\mathbf{x}\Vert$ ，

上面使用了 $\vert q\vert=\vert q^\ast\vert=1$ 。這個現象稱為等距同構 (isometry)，詳見“等距同構與么正矩陣”。
若 $q=a+\mathbf{v}$ 為單位四元數，則 $L_q(\alpha\mathbf{v})=\alpha\mathbf{v}$ ， $\alpha\in\mathbb{R}$ 。
證明於下：

$\displaystyle\begin{aligned} L_q(\alpha\mathbf{v})&=q(\alpha\mathbf{v})q^\ast\\ &=(a^2-\Vert\mathbf{v}\Vert^2)\alpha\mathbf{v}+2(\mathbf{v}\cdot \alpha\mathbf{v})\mathbf{v}+2a(\mathbf{v}\times \alpha\mathbf{v})\\ &=\alpha(a^2+\Vert\mathbf{v}\Vert^2)\mathbf{v}=\alpha\vert q\vert^2\mathbf{v}=\alpha\mathbf{v}. \end{aligned}$

羅德里格旋轉公式

若 $q=a+\mathbf{v}$ 為單位四元數，即 $\vert q\vert^2=a^2+\Vert\mathbf{v}\Vert^2=1$ ，設 $a^2=\cos^2\frac{\theta}{2}$ 且 $\Vert\mathbf{v}\Vert^2=\sin^2\frac{\theta}{2}$ 。因此，存在 $\theta\in[0,2\pi)$ 使得 $a=\cos\frac{\theta}{2}$ 且 $\Vert\mathbf{v}\Vert=\sin\frac{\theta}{2}\ge 0$ 。令 $\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\Vert\mathbf{v}\Vert}$ 。每一個單位四元數 $q=a+\mathbf{v}$ 定可表示為

$\displaystyle q=\cos\frac{\theta}{2}+\sin\frac{\theta}{2}\mathbf{u}$ ，

其中 $\Vert\mathbf{u}\Vert=1$ 。我們可以證明：以單位向量 $\mathbf{u}$ 為轉軸，線性變換 $L_q(\mathbf{x})=q\mathbf{x}q^\ast$ 代表 $\mathbf{x}$ 逆時針旋轉 $\theta$ 徑度。將給定向量 $\mathbf{x}$ 分解成 $\mathbf{x}=\mathbf{z}+\mathbf{n}$ ，其中 $\mathbf{z}$ 是 $\mathbf{x}$ 在轉軸 $\mathbf{u}$ 的正交投影， $\mathbf{n}$ 代表垂直於 $\mathbf{u}$ 的成分。因為 $L_q(\mathbf{x})=L_q(\mathbf{z}+\mathbf{n})=L_q(\mathbf{z})+L_q(\mathbf{n})$ ，我們要證明 $L_q$ 不改變 $\mathbf{z}$ 且 $L_q$ 將 $\mathbf{n}$ 逆時針旋轉 $\theta$ 角度，見下圖。

三維空間旋轉

因為存在唯一 $\alpha\in\mathbb{R}$ 使 $\mathbf{z}=\alpha\mathbf{u}$ ，由前述性質 (2) 可知 $L_q(\mathbf{z})=\mathbf{z}$ 。利用 $\mathbf{n}\perp\mathbf{u}$ ，即 $\mathbf{n}\perp\mathbf{v}$ ，可得

$\displaystyle\begin{aligned} L_q(\mathbf{n})&=(a^2-\Vert\mathbf{v}\Vert^2)\mathbf{n}+2(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\mathbf{v}+2a(\mathbf{v}\times\mathbf{n})\\ &=(a^2-\Vert\mathbf{v}\Vert^2)\mathbf{n}+2a(\mathbf{v}\times\mathbf{n})\\ &=(a^2-\Vert\mathbf{v}\Vert^2)\mathbf{n}+2a\Vert\mathbf{v}\Vert(\mathbf{u}\times\mathbf{n})\\ &=(a^2-\Vert\mathbf{v}\Vert^2)\mathbf{n}+2a\Vert\mathbf{v}\Vert\mathbf{n}_{\perp}, \end{aligned}$

上面令 $\mathbf{n}_{\perp}=\mathbf{u}\times\mathbf{n}$ 。注意 $\mathbf{n}_\perp$ 垂直於 $\mathbf{n}$ 且

$\displaystyle \Vert\mathbf{n}_\perp\Vert=\Vert \mathbf{u}\times{\mathbf{n}}\Vert=\Vert\mathbf{u}\Vert~\Vert\mathbf{n}\Vert\sin\frac{\pi}{2}=\Vert\mathbf{n}\Vert$ 。

最後，將 $a=\cos\frac{\theta}{2}$ 和 $\Vert\mathbf{v}\Vert=\sin\frac{\theta}{2}$ 代入 $L_q(\mathbf{n})$ 的表達式，使用倍角公式，

$\displaystyle\begin{aligned} L_q(\mathbf{n})&=\left(\cos^2\frac{\theta}{2}-\sin^2\frac{\theta}{2}\right)\mathbf{n}+\left(2\cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}\right)\mathbf{n}_\perp\\ &=\cos\theta\mathbf{n}+\sin\theta\mathbf{n}_\perp,\end{aligned}$

證明 $L_q(\mathbf{n})$ 即是垂直於轉軸 $\mathbf{u}$ 的平面上 $\mathbf{n}$ 逆時針旋轉 $\theta$ 而得的向量。

Olinde Rodrigues (1795–1851) From Wikimedia

將單位四元數 $q=\cos\frac{\theta}{2}+\sin\frac{\theta}{2}\mathbf{u}$ 代入旋轉變換 $L_q(\mathbf{x})$ 的展開式，套用倍角公式和半角公式，推得

$\displaystyle\begin{aligned} L_q(\mathbf{x})&=\left(\cos^2\frac{\theta}{2}-\sin^2\frac{\theta}{2}\right)\mathbf{x}+2\left(\sin\frac{\theta}{2}\mathbf{u}\cdot\mathbf{x}\right)\sin\frac{\theta}{2}\mathbf{u}+2\cos\frac{\theta}{2}\left(\sin\frac{\theta}{2}\mathbf{u}\times\mathbf{x}\right)\\ &=\cos\theta\mathbf{x}+(1-\cos\theta)(\mathbf{u}\cdot\mathbf{x})\mathbf{u}+\sin\theta(\mathbf{u}\times\mathbf{x}). \end{aligned}$

上式稱為羅德里格旋轉公式 (Rodrigues’ rotation formula)，因法國數學家羅德里格 (Olinde Rodrigues) 而得名。給定 $\mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3)$ 和 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)$ ，外積運算 $\mathbf{u}\times \mathbf{x}$ 可用矩陣乘法表示如下：

$\displaystyle \mathbf{u}\times\mathbf{x}=\begin{bmatrix} u_2x_3-u_3x_2\\ u_3x_1-u_1x_3\\ u_1x_2-u_2x_1 \end{bmatrix}=\left[\!\!\begin{array}{rrr} 0&-u_3&u_2\\ u_3&0&-u_1\\ -u_2&u_1&0 \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_{\times}\mathbf{x}$ ，

上面我們定義「外積矩陣」為 $\begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_{\times}=\left[\!\!\begin{array}{rrr} 0&-u_3&u_2\\ u_3&0&-u_1\\ -u_2&u_1&0 \end{array}\!\!\right]$ 。再將內積改寫成 $\mathbf{u}\cdot\mathbf{x}=\mathbf{u}^T\mathbf{x}$ ，羅德里格旋轉公式可表示成矩陣形式：

$\displaystyle\begin{aligned} L_q(\mathbf{x})&=\cos\theta I\mathbf{x}+(1-\cos\theta)\mathbf{u}\mathbf{u}^T\mathbf{x}+\sin\theta\begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_{\times}\mathbf{x}\\ &=\left(\cos\theta I+(1-\cos\theta)\mathbf{u}\mathbf{u}^T+\sin\theta\begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_{\times}\right)\mathbf{x}. \end{aligned}$

令 $R_\mathbf{u}(\theta)$ 表示旋轉軸為 $\mathbf{u}$ ，轉角等於 $\theta$ 的 $3\times 3$ 階旋轉矩陣。從上面的羅德里格旋轉公式，可得

$\displaystyle \begin{aligned} R_\mathbf{u}(\theta)&=\cos\theta I+(1-\cos\theta)\mathbf{u}\mathbf{u}^T+\sin\theta\begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_{\times}\\ &=\begin{bmatrix} u_1u_1v\theta+c\theta&u_1u_2v\theta-u_3s\theta&u_1u_3v\theta+u_2s\theta\\ u_1u_2v\theta+u_3s\theta&u_2u_2v\theta+c\theta&u_2u_3v\theta-u_1s\theta\\ u_1u_3v\theta-u_2s\theta&u_2u_3v\theta+u_1s\theta&u_3u_3v\theta+c\theta \end{bmatrix},\end{aligned}$

其中 $c\theta=\cos\theta$ ， $s\theta=\sin\theta$ ， $v\theta=1-\cos\theta$ 。轉角 $\theta$ 的大小由右手法則決定，即大拇指朝向轉軸的正方向 $\mathbf{u}$ ，其餘四根手指的彎曲方向為旋轉方向。

給定一個單位四元數 $q=a+\mathbf{v}$ ，其中 $\mathbf{v}=(b,c,d)^T$ ，利用 $L_q(\mathbf{x})$ 公式亦可得到以 $a,b,c,d$ 表示的旋轉矩陣 $R$ ，如下：

$\displaystyle\begin{aligned} R\mathbf{x}&=L_q(\mathbf{x})=(a^2-\Vert\mathbf{v}\Vert^2)\mathbf{x}+2(\mathbf{v}\cdot\mathbf{x})\mathbf{v}+2a(\mathbf{v}\times\mathbf{x})\\ &=(a^2-\Vert\mathbf{v}\Vert^2)\mathbf{x}+2\mathbf{v}\mathbf{v}^T\mathbf{x}+2a\begin{bmatrix} \mathbf{v}\end{bmatrix}_\times\mathbf{x}\\ &=\left((a^2-\Vert\mathbf{v}\Vert^2)I+2\mathbf{v}\mathbf{v}^T+2a\begin{bmatrix} \mathbf{v}\end{bmatrix}_\times\right)\mathbf{x}\\ &=\begin{bmatrix} a^2+b^2-c^2-d^2&2bc-2ad&2bd+2ac\\ 2bc+2ad&a^2-b^2+c^2-d^2&2cd-2ab\\ 2bd-2ac&2cd+2ab&a^2-b^2-c^2+d^2 \end{bmatrix}\mathbf{x}. \end{aligned}$

反之，給定旋轉矩陣 $R=[r_{ij}]$ ，如何求出對應的單位四元數 $q=a+bi+cj+dk$ ？因為 $a^2+b^2+c^2+d^2=1$ 且 $r_{11}+r_{22}+r_{33}=3a^2-b^2-c^2-d^2$ ，推得 $4a^2=1+r_{11}+r_{22}+r_{33}$ 。不難驗證

$\displaystyle\begin{aligned} a&=\pm\frac{1}{2}\sqrt{1+r_{11}+r_{22}+r_{33}}\\ b&=\frac{r_{32}-r_{23}}{4a}\\ c&=\frac{r_{13}-r_{31}}{4a}\\ d&=\frac{r_{21}-r_{12}}{4a}. \end{aligned}$

註解
[1] 使用分配律與四元數乘法運算規則，

$\displaystyle\begin{aligned} q_1q_2&=(a_1+\mathbf{v}_1)(a_2+\mathbf{v}_2)\\ &=(a_1+b_1i+c_1j+d_1k)(a_2+b_2i+c_2j+d_2k)\\ &=(a_1a_2-b_1b_2-c_1c_2-d_1d_2)+(a_1b_2+b_1a_2+c_1d_2-d_1c_2)i\\ &~~~~+(a_1c_2-b_1d_2+c_1a_2+d_1b_2)j+(a_1d_2+b_1c_2-c_1b_2+d_1a_2)k. \end{aligned}$

代入

$\displaystyle\begin{aligned} \mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2&=b_1b_2+c_1c_2+d_1d_2\\ \mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2&=\begin{vmatrix} i&j&k\\ b_1&c_1&d_1\\ b_2&c_2&d_2 \end{vmatrix}=(c_1d_2-c_2d_1)i+(d_1b_2-d_2b_1)j+(b_1c_2-b_2c_1)k, \end{aligned}$

可得

$\displaystyle\begin{aligned} q_1q_2&=(a_1a_2-\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2)+a_1(b_2i+c_2j+d_2k)+a_2(b_1i+c_1j+d_1k)\\ &~~~~+(c_1d_2-d_1c_2)i+(d_1b_2-d_2b_1)j+(b_1c_2-b_2c_1)k\\ &=(a_1a_2-\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2)+(a_1\mathbf{v}_2+a_2\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2). \end{aligned}$

15 Responses to 四元數與三維空間旋轉

嗡嗡 says:

01/15/2016 at 5:27 pm

為何ijk = -1 而不是-i之類的

- 嗡嗡 says:
  
  01/15/2016 at 6:18 pm
  
  i與j本身不同維度所以 ij不等於-1
  
- ccjou says:
  
  01/15/2016 at 6:50 pm
  
  你可以自已試一下：i,j,k是純虛數，如果ijk=-i，會有甚麼結果？
  
- 范子謙 says:
  
  08/08/2020 at 3:24 am
  
  ij = k
  ijk = kk =-1
  
Yufeng Lyu (@LyuYufeng) says:

05/19/2016 at 8:05 pm

周老師：
您好！
看過您這篇四元數與三維空間旋轉文章後深受啟發，在此先表示感謝。
但我還有一個疑問，就是在選擇單位四元數 $q=\cos\frac{\theta}{2}+\sin\frac{\theta}{2}\mathbf{u}$ 的時候，為什麼會用半角 $\frac{\theta}{2}$ ? 只是單純為了後面的簡化嗎？有沒有更具體和通俗的解釋？

- ccjou says:
  
  05/20/2016 at 6:21 am
  
  WordPress 輸入 LaTeX 的語法須在第一個 $ 後面加入 latex，方可正確顯示。
  
  若 $L_q(\mathbf{x})=q\mathbf{x}q^\ast$ 代表三維空間 $\mathbf{x}$ 以單位向量 $\mathbf{u}$ 為軸旋轉 $\theta$ 度，則單位四元數 $q$ 是多少？
  答案是 $q=\cos\frac{\theta}{2}+\sin\frac{\theta}{2}\mathbf{u}$ 。
  
  若 $L_q(z)=qzq=q^2z$ 代表複數平面 $z$ 旋轉 $\theta$ 度，則單位複數 $q$ 是多少？
  答案是 $q=\exp(i\frac{\theta}{2})=\cos\frac{\theta}{2}+i\sin\frac{\theta}{2}$ 。
  
學生 says:

02/01/2017 at 1:18 pm

線性變換 $L_q(\mathbf{x})=q\mathbf{x}q^\ast 代表 $\mathbf{x} 逆時針旋轉 $\theta 徑度
那麼座標軸轉換也是一樣的公式嗎？

- 學生 says:
  
  02/01/2017 at 1:24 pm
  
  抱歉不太會用 Latex …
  要怎麼做兩個quaternion的轉換呢？如：已知兩個座標, C0 與 C1，如何用 quaternion 表達兩者的關係？
  謝謝老師
  
  - ccjou says:
    
    02/01/2017 at 4:40 pm
    
    我不確定你的問題，兩個座標C0與C1的關係是指下文的哪個問題？
    
    圖解基底變換、座標變換、相似變換與相似矩陣
    
    - 學生 says:
      
      02/01/2017 at 5:32 pm
      
      不好意思沒有表達清楚！我想應該是 Q2
      我重新詮釋一次問題，再請老師幫我確認是不是Q2：
      將空間中的一個座標系 C0 旋轉後得另一座標系 C1，若有一向量 x 在 C0 的座標為 v0 = (x0,y0,z0)，在 C1 的座標為 v1 = (x1,y1,z1)，請問如何以 quaternion 表示 v0 與 v1 的關係？
      會有這個問題是因為在學 robotic kinematics 的時候，學到若C0 經旋轉而得 C1，且C1對應C0 的旋轉矩陣為 R(0:1) ，則上述的 v0 = R(0:1)*v1。若連續旋轉R(0:1), R(1:2),…, R(n-1:n)，v0 = R(0:1)*R(1:2)*…*R(n-1:n)*v1。其中R(i-1:i) 為 Ci-1 旋轉成 Ci 的旋轉矩陣。
      因為這個，所以想知道是否 quaternion 也有這樣的性質，如：v0 = q*v1 之類的？
      
      不知道這樣有沒有比較清楚～
      
      - 學生 says:
        
        02/01/2017 at 6:07 pm
        
        更正：v0 = R(0:1)*R(1:2)*…*R(n-1:n)*vn
        
      - ccjou says:
        
        02/01/2017 at 6:48 pm
        
        請參閱上文最後一段： $R\mathbf{x}=L_q(\mathbf{x})$ ，但計算方式不同，前者是矩陣向量乘法，後者如下：
        
        $L_q(\mathbf{x})=(a^2-\Vert\mathbf{v}\Vert^2)\mathbf{x}+2(\mathbf{v}\cdot\mathbf{x})\mathbf{v}+2a(\mathbf{v}\times\mathbf{x})$ ，
        其中 $q=a+\mathbf{v}$ 是單位四元數。
        
Shu Shujaat Lin says:

03/26/2017 at 12:38 am

阿

dotdotdot2017 says:

10/26/2018 at 5:34 pm

老師好奇的請教一下

內積與外積是怎麼來的？

1878年，英國數學家克利福德才出版Elements of Dynamic

那羅德里格怎麼會使用內積跟外積呢？
https://en.wikipedia.org/wiki/Olinde_Rodrigues

- DF says:
  
  06/15/2020 at 7:47 pm
  
  是他先發現這樣的算法之後才有外積內積的定義。

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