三維空間的旋轉矩陣

Posted on 04/29/2014 by ccjou

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在二維平面上，逆時針方向旋轉 \theta 徑度 (弧度，radian) 的旋轉矩陣為 (見“幾何變換矩陣的設計”)

\displaystyle R=R(\theta)=\left[\!\!\begin{array}{cr} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{array}\!\!\right]。

不難驗證 R 的特徵值為 e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta 和 e^{-i\theta}=\cos\theta-i\sin\theta，其中 i=\sqrt{-1}，並具有下面兩個基本性質：

  1. 旋轉矩陣 R 的兩個行向量 (column vector) \begin{bmatrix} \cos\theta\\ \sin\theta \end{bmatrix} 和 \left[\!\!\begin{array}{r} -\sin\theta\\ \cos\theta \end{array}\!\!\right] 組成一個單範正交集 (orthonormal set)，也就是說，R 是一個實正交矩陣 (orthogonal matrix)，滿足 R^TR=RR^T=I，故逆旋轉矩陣為 (R(\theta))^{-1}=(R(\theta))^T=R(-\theta)。
  2. 對於任一實正交矩陣 Q，(\det Q)^2=\det(QQ^T)=\det I=1，即得 \det Q=\pm 1。若 \det Q=1，則 Q 稱為適當的 (proper) 正交矩陣。計算 \det R=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1，旋轉矩陣 R 是適當的正交矩陣。若 \det Q=-1，則 Q 稱為不適當的正交矩陣，例如鏡射矩陣 (見“旋轉與鏡射”)

    \displaystyle \left[\!\!\begin{array}{cr} \cos\theta&\sin\theta\\ \sin\theta&-\cos\theta \end{array}\!\!\right]。

本文討論常見於電腦圖學 (computer graphics) 和機器人學的三維空間旋轉，並介紹數種 3\times 3 階旋轉矩陣表示法，包括羅德里格旋轉公式 (Rodrigues’ rotation formula)、Cayley 變換以及歐拉角公式。除此之外，四元數 (quaternion) 亦可表示三維空間旋轉 (見“四元數與三維空間旋轉”)。

 
歐拉旋轉定理

歐拉 (Leonhard Euler) 於1775年根據簡單的幾何論述證明了這個旋轉定理：在三維空間中，若一個剛體發生位移且剛體內至少有一點固定不動，則此位移等價於一個繞著穿越該固定點的固定軸的旋轉。簡單講，歐拉旋轉定理說，每一個三維空間旋轉皆可表示為對於一固定軸的旋轉。用線性代數術語來說，若 R 是一個定義於 \mathbb{R}^3 的旋轉矩陣，則存在一非零向量 \mathbf{u} 使得 R\mathbf{u}=\mathbf{u}，我們稱 \mathbf{u} 是對於 R 的一個不動點 (fixed point)。幾何意義是 \mathbf{u} 表示旋轉軸的指向向量，旋轉軸上的每一點 k\mathbf{u} (k 是實數) 不受旋轉運動而改變。

下面介紹一個矩陣證法。令 R 為一個 3\times 3 階旋轉矩陣，\det R=1，且對於任意 \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{R}^3，

\displaystyle \Vert R\mathbf{x}-R\mathbf{y}\Vert=\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert。

上式稱為等距同構 (isometry)，意思是旋轉不改變任兩點之間的距離。正交矩陣等價於等距同構 (見“等距同構與么正矩陣”)，換句話說，如同 2\times 2 階旋轉矩陣，每一個 3\times 3 階旋轉矩陣皆為適當的正交矩陣。利用 R^T=R^{-1}，\det R^{-1}=(\det R)^{-1}=1 和 \det(I-R)=(-1)^3\det(R-I)=-\det(R-I)，可推得

\displaystyle\begin{aligned} \det(R-I)&=\det((R-I)^T)=\det(R^T-I)=\det(R^{-1}-I)\\ &=\det(R^{-1}(I-R))=\det(R^{-1})\det(I-R)\\ &=-(\det R^{-1})\det(R-I)=-\det(R-I), \end{aligned}

即有 \det(R-I)=0。所以，旋轉矩陣 R 有一個特徵值 1，對應特徵向量 \mathbf{u}，即 R\mathbf{u}=\mathbf{u}。

 
羅德里格旋轉公式

適當的正交矩陣的行列式為 1，實正交矩陣的特徵值的絕對值等於 1 (見“特殊矩陣 (3)：么正矩陣 (酉矩陣)”)，且實矩陣若存在複特徵值必然為共軛對 (見“解讀複特徵值”)。因此，由歐拉旋轉定理可推論 3\times 3 階旋轉矩陣 R 的特徵值為 1,e^{i\theta},e^{-i\theta}。旋轉矩陣 R 滿足 RR^\ast=R^\ast R，此為正規 (normal) 矩陣家族的標記 (見“特殊矩陣 (2)：正規矩陣”)，等價條件是 R 可么正對角化為 R=UDU^\ast，其中 U 是么正 (unitary) 矩陣，U^\ast=U^{-1}，且 D=\text{diag}(1,e^{i\theta},e^{-i\theta})。令 U=\begin{bmatrix} \mathbf{u}&\mathbf{v}&\mathbf{w} \end{bmatrix}，其中 \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} 組成一個單範正交集。么正對角化蘊含下列性質：

  1. U^\ast U=I 推得 \mathbf{u}^\ast\mathbf{u}=\mathbf{v}^\ast\mathbf{v}=\mathbf{w}^\ast\mathbf{w}=1 且 \mathbf{u}^\ast\mathbf{v}=\mathbf{v}^\ast\mathbf{w}=\mathbf{w}^\ast\mathbf{u}=0。
  2. UU^\ast=I 推得 \mathbf{u}\mathbf{u}^\ast+\mathbf{v}\mathbf{v}^\ast+\mathbf{w}\mathbf{w}^\ast=I (見“矩陣乘法的現代觀點”)。
  3. 乘開 RU=UD，R\mathbf{u}=\mathbf{u} 表明 \mathbf{u} 是一個單位實向量，R\mathbf{v}=e^{i\theta}\mathbf{v} 和 R\mathbf{w}=e^{-i\theta}\mathbf{w} 表明 \mathbf{v} 和 \mathbf{w} 是單位複向量。

使用這些性質以及歐拉公式 e^{\pm i\theta}=\cos\theta\pm i\sin\theta，

\displaystyle\begin{aligned} R&=\begin{bmatrix} \mathbf{u}&\mathbf{v}&\mathbf{w} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&e^{i\theta}&0\\ 0&0&e^{-i\theta} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mathbf{u}^\ast\\ \mathbf{v}^\ast\\ \mathbf{w}^\ast \end{bmatrix}\\ &=\mathbf{u}\mathbf{u}^\ast+(\cos\theta+i\sin\theta)\mathbf{v}\mathbf{v}^\ast+(\cos\theta-i\sin\theta)\mathbf{w}\mathbf{w}^\ast\\ &=\cos\theta(\mathbf{u}\mathbf{u}^\ast+\mathbf{v}\mathbf{v}^\ast+\mathbf{w}\mathbf{w}^\ast)+(1-\cos\theta)\mathbf{u}\mathbf{u}^\ast+i\sin\theta(\mathbf{v}\mathbf{v}^\ast-\mathbf{w}\mathbf{w}^\ast)\\ &=\cos\theta I+(1-\cos\theta)\mathbf{u}\mathbf{u}^T+i\sin\theta(\mathbf{v}\mathbf{v}^\ast-\mathbf{w}\mathbf{w}^\ast)\\ &=\cos\theta I+(1-\cos\theta)\mathbf{u}\mathbf{u}^T+\sin\theta K, \end{aligned}

其中 K=i(\mathbf{v}\mathbf{v}^\ast-\mathbf{w}\mathbf{w}^\ast)。因為 R 和 \mathbf{u}\mathbf{u}^T 是實矩陣，上式表明 K 也是一個實矩陣，則

\displaystyle K^T=K^\ast=-i(\mathbf{v}\mathbf{v}^\ast-\mathbf{w}\mathbf{w}^\ast)^\ast=-i(\mathbf{v}\mathbf{v}^\ast-\mathbf{w}\mathbf{w}^\ast)=-K，

推知 K 是反對稱矩陣 (見“特殊矩陣 (13)：反對稱矩陣”)。令 K=\left[\!\!\begin{array}{rrr} 0&a&b\\ -a&0&c\\ -b&-c&0 \end{array}\!\!\right]，其中 a,b,c\in\mathbb{R}。對於任一 \theta，\mathbf{u}=R\mathbf{u}=\cos\theta\mathbf{u}+(1-\cos\theta)\mathbf{u}+\sin\theta K\mathbf{u}=\mathbf{u}+\sin\theta K\mathbf{u}，可得

\displaystyle K\mathbf{u}=\left[\!\!\begin{array}{rrr} 0&a&b\\ -a&0&c\\ -b&-c&0 \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix} u_1\\ u_2\\ u_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}，

或改寫為

\displaystyle \left[\!\!\begin{array}{rrr} u_2&u_3&0\\ -u_1&0&u_3\\ 0&-u_1&-u_2 \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix} a\\ b\\ c \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}。

解開上式，

\displaystyle \begin{bmatrix} a\\ b\\ c \end{bmatrix}=\alpha\left[\!\!\begin{array}{r} -u_3\\ u_2\\ -u_1 \end{array}\!\!\right]，

其中 \alpha 是一個待確定的實數。定義「外積矩陣」

\displaystyle \begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_{\times}=\left[\!\!\begin{array}{rrr} 0&-u_3&u_2\\ u_3&0&-u_1\\ -u_2&u_1&0 \end{array}\!\!\right]，

此名稱由來係因 \begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_{\times}\mathbf{x}=\mathbf{u}\times\mathbf{x}，其中 \times 表示向量外積 (cross product，或稱向量積)，即有 K=\alpha\begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_\times。使用單範正交集 \{\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\} 的基本性質，

\displaystyle\begin{aligned} K^2&=i^2(\mathbf{v}\mathbf{v}^\ast-\mathbf{w}\mathbf{w}^\ast)(\mathbf{v}\mathbf{v}^\ast-\mathbf{w}\mathbf{w}^\ast)\\ &=-(\mathbf{v}\mathbf{v}^\ast\mathbf{v}\mathbf{v}^\ast-\mathbf{v}\mathbf{v}^\ast\mathbf{w}\mathbf{w}^\ast-\mathbf{w}\mathbf{w}^\ast\mathbf{v}\mathbf{v}^\ast+\mathbf{w}\mathbf{w}^\ast\mathbf{w}\mathbf{w}^\ast)\\ &=-(\mathbf{v}\mathbf{v}^\ast+\mathbf{w}\mathbf{w}^\ast)\\ &=\mathbf{u}\mathbf{u}^T-I.\end{aligned}

再將 K=\alpha\begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_\times 代入上式，立得 \alpha=\pm 1。我們選擇 \alpha=1，原因是配合慣例使 \theta 代表逆時針轉角 (稍後說明)。令 R_\mathbf{u}(\theta) 代表一個旋轉矩陣，其特徵值為 1,\cos\theta\pm i\sin\theta 且 \mathbf{u} 為對應特徵值 1 的單位特徵向量。綜合以上結果，旋轉矩陣 R_\mathbf{u}(\theta) 的公式如下：

\displaystyle\begin{aligned} R_\mathbf{u}(\theta)&=\cos\theta I+(1-\cos\theta)\mathbf{u}\mathbf{u}^T+\sin\theta \begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_{\times}\\ &=\begin{bmatrix} u_1u_1v\theta+c\theta&u_1u_2v\theta-u_3s\theta&u_1u_3v\theta+u_2s\theta\\ u_1u_2v\theta+u_3s\theta&u_2u_2v\theta+c\theta&u_2u_3v\theta-u_1s\theta\\ u_1u_3v\theta-u_2s\theta&u_2u_3v\theta+u_1s\theta&u_3u_3v\theta+c\theta \end{bmatrix},\end{aligned}

其中 c\theta=\cos\theta，s\theta=\sin\theta，v\theta=1-\cos\theta。上式稱為羅德里格旋轉公式，R_\mathbf{u}(\theta) 由參數 u_1,u_2,u_3,\theta 決定，但實際僅含三個自由參數 (或稱自由度)，因為 u_1^2+u_2^2+u_3^2=1。另一種解釋是 3\times 3 階適當的正交矩陣 R 包含 9 個元，扣除 6 個限制式 \mathbf{u}^\ast\mathbf{u}=\mathbf{v}^\ast\mathbf{v}=\mathbf{w}^\ast\mathbf{w}=1 和 \mathbf{u}^\ast\mathbf{v}=\mathbf{v}^\ast\mathbf{w}=\mathbf{w}^\ast\mathbf{u}=0，僅存 3 個自由參數。

 
羅德里格旋轉公式還可以用「外積矩陣」\begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_{\times} 表達。使用外積恆等式，

\displaystyle\begin{aligned} \begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}^2_\times\mathbf{x}&=\mathbf{u}\times(\mathbf{u}\times\mathbf{x})\\ &=(\mathbf{u}^T\mathbf{x})\mathbf{u}-(\mathbf{u}^T\mathbf{u})\mathbf{x}\\ &=(\mathbf{u}\mathbf{u}^T-I)\mathbf{x}. \end{aligned}

因為 \mathbf{x} 是任一向量，\begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}^2_\times=\mathbf{u}\mathbf{u}^T-I。所以，

\displaystyle\begin{aligned} R_\mathbf{u}(\theta)&=\cos\theta I+(1-\cos\theta)\mathbf{u}\mathbf{u}^T+\sin\theta \begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_{\times}\\ &=\cos\theta I+(1-\cos\theta)\left(I+\begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}^2_\times\right)+\sin\theta \begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_{\times}\\ &=I+\sin\theta \begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_{\times}+(1-\cos\theta)\begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}^2_\times. \end{aligned}

 
在羅德里格旋轉公式中，單位向量 \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3)^T 代表旋轉軸的指向，\theta 是由右手法則所決定的轉角 (即大拇指朝向轉軸正向，其餘四根手指的彎曲方向為旋轉方向)。圖一顯示給定向量 \mathbf{x} 可分解為轉軸成分 \mathbf{u}\mathbf{u}^T\mathbf{x} (即 \mathbf{x} 至單位向量 \mathbf{u} 的正交投影) 和旋轉成分 (I-\mathbf{u}\mathbf{u}^T)\mathbf{x}，旋轉 \theta 後的結果分別如下：

\displaystyle\begin{aligned} R_{\mathbf{u}}(\theta)\mathbf{u}\mathbf{u}^T\mathbf{x} &=\left(\cos\theta I+(1-\cos\theta)\mathbf{u}\mathbf{u}^T+\sin\theta \begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_{\times}\right)\mathbf{u}\mathbf{u}^T\mathbf{x}\\ &=\cos\theta\mathbf{u}\mathbf{u}^T\mathbf{x}+(1-\cos\theta)\mathbf{u}\mathbf{u}^T\mathbf{x}\\ &=\mathbf{u}\mathbf{u}^T\mathbf{x} \end{aligned}

說明轉軸成分不因旋轉而改變，另

\displaystyle\begin{aligned} R_{\mathbf{u}}(\theta)(I-\mathbf{u}\mathbf{u}^T)\mathbf{x} &=\left(\cos\theta I+(1-\cos\theta)\mathbf{u}\mathbf{u}^T+\sin\theta \begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_{\times}\right)\mathbf{x}-\mathbf{u}\mathbf{u}^T\mathbf{x}\\ &=\cos\theta\mathbf{x}+(1-\cos\theta)\mathbf{u}\mathbf{u}^T\mathbf{x}+\sin\theta\begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_\times\mathbf{x}-\mathbf{u}\mathbf{u}^T\mathbf{x}\\ &=\cos\theta(I-\mathbf{u}\mathbf{u}^T)\mathbf{x}+\sin\theta\begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_\times\mathbf{x} \end{aligned}

說明旋轉成分 (I-\mathbf{u}\mathbf{u}^T)\mathbf{x} 在垂直於 \mathbf{u} 的平面上逆時針旋轉 \theta 徑度。

3D rotation

圖一 轉軸為\mathbf{u}轉角等於\theta的旋轉

 
考慮反向問題：給定一個 3\times 3 階旋轉矩陣 R，求旋轉軸向量 \mathbf{u} 和轉角 \theta。若

\displaystyle R=\begin{bmatrix} r_{11}&r_{12}&r_{13}\\ r_{21}&r_{22}&r_{23}\\ r_{31}&r_{32}&r_{33} \end{bmatrix}，

則 \text{trace}R=1+\cos\theta+i\sin\theta+\cos\theta-i\sin\theta=1+2\cos\theta，故

\displaystyle \theta=\cos^{-1}\frac{\text{trace}R-1}{2}。

對照羅德里格旋轉公式，不難驗證

\displaystyle \mathbf{u}=\frac{1}{2\sin\theta}\begin{bmatrix} r_{32}-r_{23}\\ r_{13}-r_{31}\\ r_{21}-r_{12} \end{bmatrix}。

若限定 \theta\in[0,\pi]，則轉軸轉角對 (\mathbf{u},\theta) 和 (-\mathbf{u},-\theta) 產生相同的旋轉矩陣，即 R_{\mathbf{u}}(\theta)=R_{-\mathbf{u}}(-\theta)。

 
Cayley 變換

在矩陣理論中，任何一個不含特徵值 -1 的正交矩陣 Q 都可表示為一個反對稱矩陣 A 的 Cayley 變換 (見“Cayley 變換”)，如下：

Q=(I+A)^{-1}(I-A)=(I-A)(I+A)^{-1}。

三維空間的旋轉矩陣 R 是一個 3\times 3 階適當的正交矩陣，將反對稱矩陣

\displaystyle A=\left[\!\!\begin{array}{rrr} 0&z&-y\\ -z&0&x\\ y&-x&0 \end{array}\!\!\right]

代入 Cayley 變換，計算化簡可得

\displaystyle R=\frac{1}{1+x^2+y^2+z^2}\left[\!\!\begin{array}{ccc} 1+x^2-y^2-z^2&2(xy-z)&2(y+xz)\\ 2(xy+z)&1-x^2+y^2-z^2&2(yz-x)\\ 2(xz-y)&2(x+yz)&1-x^2-y^2+z^2 \end{array}\!\!\right]。

以 Cayley 變換表達的旋轉矩陣的優點是不涉及三角函數，但它有一個限制，即排除了對應特徵值 -1 的旋轉角度 \theta=\pm\pi。定義 Cayley 變換而生的旋轉矩陣的三個參數 x,y,z 與轉軸 \mathbf{u} 及轉角 \theta 有甚麼關係？下面我們探討這個問題。

 
寫出羅德里格旋轉矩陣

\displaystyle R_{\mathbf{u}}(\theta)=I+\sin\theta\begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_\times+(1-\cos\theta)\begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_{\times}^2。

令 t=\tan\frac{\theta}{2}。代入三角恆等式

\displaystyle \sin\theta=\frac{2t}{1+t^2},~~\cos\theta=\frac{1-t^2}{1+t^2}，

旋轉矩陣變成

\displaystyle R_{\mathbf{u}}(\theta)=I+\frac{2t}{1+t^2}\begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_\times+\frac{2t^2}{1+t^2}\begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_\times^2。

利用冪級數

\displaystyle \frac{1}{1+t^2}=\sum_{k=0}^\infty(-1)^kt^{2k}，

以及 \begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_\times^{2k+1}=(-1)^{k}\begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_\times 和 \begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_\times^{2k}=(-1)^{k+1}\begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_\times^2，可得

\displaystyle\begin{aligned} R_\mathbf{u}(\theta) &=I+2t\sum_{k=0}^\infty(-1)^kt^{2k}\begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_\times+2t^2\sum_{k=0}^\infty(-1)^kt^{2k}\begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_\times^2\\ &=I+2\sum_{k=0}^\infty t^{2k+1}\begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_\times^{2k+1}-2\sum_{k=0}^\infty t^{2k+2}\begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_\times^{2k}\\ &=I+2\sum_{k=0}^\infty t^{2k+1}\begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_\times^{2k+1}+2\sum_{k=0}^\infty t^{2k+2}\begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_\times^{2k+2}\\ &=I+2\sum_{m=1}^\infty t^m\begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_\times^m\\ &=\left(I+t\begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_\times\right)\sum_{m=0}^\infty t^m\begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_\times^m\\ &=\left(I+t\begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_\times\right)\left(I-t\begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_\times\right)^{-1}. \end{aligned}

上面使用了 Neumann 無窮級數 (I-B)^{-1}=\sum_{m=0}^\infty B^m (見“Neumann 無窮級數”)。比較 Cayley 變換 R=(I-A)(I+A)^{-1} 和上面的 R_\mathbf{u}(\theta)，可得 A=-t\begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_\times，即

\displaystyle \left[\!\!\begin{array}{rrr} 0&z&-y\\ -z&0&x\\ y&-x&0 \end{array}\!\!\right]=t\left[\!\!\begin{array}{rrr} 0&u_3&-u_2\\ -u_3&0&u_1\\ u_2&-u_1&0 \end{array}\!\!\right]，

故得關係式

\displaystyle \begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}=\tan\frac{\theta}{2}\begin{bmatrix} u_1\\ u_2\\ u_3 \end{bmatrix}=\tan\frac{\theta}{2}\mathbf{u}。

當 \theta=\pm\pi，\tan\frac{\theta}{2} 未定義，這時 Cayley 變換無法表示旋轉矩陣。

 
歐拉角公式

羅德里格旋轉矩陣完全由轉軸和轉角決定，因此具備清晰的幾何意義，但由於包含冗餘的參數故不適合描述剛體旋轉運動。歐拉角公式提供了包含三個自由參數的旋轉矩陣設計法。具體地說，任何一個三維空間旋轉皆可表示為三個基本旋轉的複合變換。所謂基本旋轉是指以座標軸X，Y，Z作為旋轉軸。採用右手法則，設 \theta 為轉角，稱為歐拉角，R_X(\theta)，R_Y(\theta)，R_Z(\theta) 分別代表對 X，Y 和 Z 軸的旋轉矩陣，如下：

\displaystyle \begin{aligned} R_X(\theta)&=\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&\cos\theta&-\sin\theta\\ 0&\sin\theta&\cos\theta \end{bmatrix}\\ R_Y(\theta)&=\begin{bmatrix} \cos\theta&0&\sin\theta\\ 0&1&0\\ -\sin\theta&0&\cos\theta \end{bmatrix}\\ R_Z(\theta)&=\begin{bmatrix} \cos\theta&-\sin\theta&0\\ \sin\theta&\cos\theta&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}.\end{aligned}

 
令 \boldsymbol{\beta}=\{\mathbf{e}_X,\mathbf{e}_Y,\mathbf{e}_Z\} 表示標準座標系統的基底，並令 \boldsymbol{\beta}'、\boldsymbol{\beta}'' 和 \boldsymbol{\beta}''' 依序表示旋轉過程產生的新基底。任何一個三維空間旋轉可分解成三部分 (見圖二)：

  1. 以 \mathbf{e}_Z 為轉軸，轉角為 \alpha，將 \mathbf{e}_X 和 \mathbf{e}_Y 移動至 \mathbf{e}'_X 和 \mathbf{e}'_Y，且 \mathbf{e}'_Z=\mathbf{e}_Z。
  2. 以 \mathbf{e}'_X 為轉軸，轉角為 \beta，將 \mathbf{e}'_Y 和 \mathbf{e}'_Z 移動至 \mathbf{e}''_Y 和 \mathbf{e}''_Z，且 \mathbf{e}''_X=\mathbf{e}'_X。
  3. 以 \mathbf{e}''_Z 為轉軸，轉角為 \gamma，將 \mathbf{e}''_X 和 \mathbf{e}''_Y 移動至 \mathbf{e}'''_X 和 \mathbf{e}'''_Y，且 \mathbf{e}'''_Z=\mathbf{e}''_Z。
Euler angles

圖二 歐拉角

第一個旋轉描述了基底向量 \boldsymbol{\beta}'=\{\mathbf{e}'_X,\mathbf{e}'_Y,\mathbf{e}'_Z\} 和 \boldsymbol{\beta}=\{\mathbf{e}_X,\mathbf{e}_Y,\mathbf{e}_Z\} 之間的線性組合關係：

\displaystyle\begin{aligned} \mathbf{e}'_X&=\cos\alpha\,\mathbf{e}_X+\sin\alpha\,\mathbf{e}_Y\\ \mathbf{e}'_Y&=-\sin\alpha\,\mathbf{e}_X+\cos\alpha\,\mathbf{e}_Y\\ \mathbf{e}'_Z&=\mathbf{e}_Z \end{aligned}

或寫成矩陣形式

\displaystyle \begin{bmatrix} \mathbf{e}'_X&\mathbf{e}'_Y&\mathbf{e}'_Z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{e}_X&\mathbf{e}_Y&\mathbf{e}_Z \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos\alpha&-\sin\alpha&0\\ \sin\alpha&\cos\alpha&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{e}_X&\mathbf{e}_Y&\mathbf{e}_Z \end{bmatrix}R_Z(\alpha)。

按同樣的方式，第二次旋轉和第三次旋轉給出下列關係：

\displaystyle \begin{bmatrix} \mathbf{e}''_X&\mathbf{e}''_Y&\mathbf{e}''_Z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{e}'_X&\mathbf{e}'_Y&\mathbf{e}'_Z \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&\cos\beta&-\sin\beta\\ 0&\sin\beta&\cos\beta \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{e}'_X&\mathbf{e}'_Y&\mathbf{e}'_Z \end{bmatrix}R_X(\beta)

以及

\displaystyle \begin{bmatrix} \mathbf{e}'''_X&\mathbf{e}'''_Y&\mathbf{e}'''_Z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{e}''_X&\mathbf{e}''_Y&\mathbf{e}''_Z \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos\gamma&-\sin\gamma&0\\ \sin\gamma&\cos\gamma&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{e}''_X&\mathbf{e}''_Y&\mathbf{e}''_Z \end{bmatrix}R_Z(\gamma)。

合併以上結果即得旋轉座標系統的複合旋轉

\displaystyle \begin{bmatrix} \mathbf{e}'''_X&\mathbf{e}'''_Y&\mathbf{e}'''_Z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{e}_X&\mathbf{e}_Y&\mathbf{e}_Z \end{bmatrix}R_Z(\alpha)R_X(\beta)R_Z(\gamma)。

每一個三維空間旋轉矩陣皆可用 Z-X-Z 為轉軸的歐拉角公式表示：

R=R_Z(\alpha)R_X(\beta)R_Z(\gamma)=\begin{bmatrix} c\alpha c\gamma-s\alpha c\beta s\gamma &-c\alpha s\gamma- s\alpha c\beta c\gamma & s\alpha s\beta\\ s\alpha c\gamma+c\alpha c\beta s\gamma &-s\alpha s\gamma+ c\alpha c\beta c\gamma & -c\alpha s\beta\\ s\beta s\gamma &s\beta c\gamma & c\beta \end{bmatrix}，

其中 c 和 s 分別代表 \cos 和 \sin。

 
考慮反向問題：給定一個 3\times 3 階旋轉矩陣 R=[r_{ij}]，求出以 Z-X-Z 為轉軸的歐拉角 \alpha,\beta,\gamma。因為 r_{13}=s\alpha s\beta 且 r_{23}=-c\alpha s\beta，可得 r_{13}^2+r_{23}^2=s^2\beta。除非設定轉角的範圍，代表連續旋轉的歐拉角並不是唯一的。設

\displaystyle \beta=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{r_{13}^2+r_{23}^2}}{r_{33}}\right)，

其中 \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) 的計算採用 \hbox{atan2}(y,x)，傳回值的範圍是 (-\pi,\pi]，定義如下[1]：

\displaystyle \hbox{atan2}(y,x)=\left\{ \begin{array}{ll} \hbox{arctan}(\frac{y}{x})&\hbox{if~}x>0\\ \hbox{arctan}(\frac{y}{x})+\pi&\hbox{if~}x<0,y\ge 0\\ \hbox{arctan}(\frac{y}{x})-\pi&\hbox{if~}x<0,y < 0\\ +\pi/2&\hbox{if~}x=0,y > 0\\ -\pi/2&\hbox{if~}x=0,y <0\\ \hbox{undefined}&\hbox{if~}x=0,y=0. \end{array} \right.

這裡 \hbox{arctan}\left(\frac{y}{x}\right) 是標準反正切函數，傳回值的範圍是 (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})。若 s\beta\neq 0，立刻有

\displaystyle \alpha=\tan^{-1}\left(\frac{r_{13}}{-r_{23}}\right),~~\gamma=\tan^{-1}\left(\frac{r_{31}}{r_{32}}\right)。

若 s\beta=0，則有無限多組解，一個特解為 \alpha=\tan^{-1}\left(\frac{r_{12}}{r_{11}}\right)，\gamma=0。

 
除了上述以 Z-X-Z 為轉軸，我們也可以選擇其他軸作為轉軸，例如，以 Z-Y-X 為轉軸的旋轉方式稱為 yaw-pitch-roll：

  1. 以 \mathbf{e}_Z 為轉軸，轉角為 \alpha，稱為 yaw。
  2. 以 \mathbf{e}'_Y 為轉軸，轉角為 \beta，稱為 pitch。
  3. 以 \mathbf{e}''_X 為轉軸，轉角為 \gamma，稱為 roll。

yaw-pitch-roll 旋轉矩陣為 R=R_Z(\alpha)R_Y(\beta)R_X(\gamma)。事實上，只要連續兩個轉軸不相同便可產生合法的旋轉矩陣，共計有 12 種可能：

X-Y-X     Y-X-Y     Z-X-Z
X-Z-X     Y-Z-Y     Z-Y-Z
X-Y-Z     Y-Z-X     Z-X-Y
X-Z-Y     Y-X-Z     Z-Y-X

 
在代數中，所有的行列式等於 1 的正交矩陣構成一個群 (group)。三維空間的旋轉矩陣形成的群稱為特殊正交群 (special orthogonal group)，記作 SO(3)。對於任意 3\times 3 階旋轉矩陣 R\in SO(3) 且 \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{R}^3，請讀者自行證明下列性質：

  1. \Vert R\mathbf{x}\Vert=\Vert\mathbf{x}\Vert，即旋轉不改變向量長度 (保長映射，說明 R 的特徵值的絕對值為 1)。
  2. \Vert R\mathbf{x}-R\mathbf{y}\Vert=\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert，即旋轉不改變兩點的距離。
  3. (R\mathbf{x})^T(R\mathbf{y})=\mathbf{x}^T\mathbf{y}，即旋轉保留向量內積，故不改變兩向量之間的夾角 (保角映射)。
  4. R(\mathbf{x}\times\mathbf{y})=R\mathbf{x}\times R\mathbf{y}，即旋轉保留向量外積。

 
註解
[1] 維基百科：atan2

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21 Responses to 三維空間的旋轉矩陣

  1. jono says:
    01/15/2015 at 4:45 pm

    根據 http://blog.sina.com.cn/s/blog_5fb3f125010100hp.html 說到
    “旋轉向量的長度（模）表示繞軸逆時針旋轉的角度（弧度）。旋轉向量與旋轉矩陣可以通過羅德里格斯（Rodrigues）變換進行轉換。”
    請問
    1.某一旋轉向量為 [ 0,0,0]，是否代表沒有旋轉?
    2.可以舉幾個簡單的例子來說明旋轉向量嗎?
    例如
    a.某一旋轉(原點不變)為 只繞X軸正30度旋轉，他的旋轉向量=[?,?,?]
    b.某一旋轉(原點不變)為 只繞Y軸正45度旋轉，他的旋轉向量=[?,?,?]
    c.某一旋轉(原點不變)為 只繞Z軸正90度旋轉，他的旋轉向量=[?,?,?]
    ＿

    Reply
  2. Rongwei Sun says:
    01/07/2016 at 2:52 pm

    老師，非常感謝您一直的指導，收到連接，開始閱讀。（ps：光速回覆的老師！！）

    Reply
  3. fish says:
    01/19/2016 at 1:48 am

    將 K=\alpha\begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_\times 代入上式，立得 \alpha=1。如何知道 \alpha=1 而不是 -1?
    同樣的，”因為 r_{13}=s\alpha s\beta 且 r_{23}=-c\alpha s\beta，可得 r_{13}^2+r_{23}^2=s^2\beta“，\beta 一樣可取正負值? 怎麼知道 \displaystyle \beta=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{r_{13}^2+r_{23}^2}}{r_{33}}\right) 而沒有負號??
    感謝指教!

    Reply
  4. 任書瑋 says:
    02/18/2016 at 3:32 pm

    請問老師如果我有問題是一旋轉後3×3的矩陣R=[n t b]，那它相對於最一開始原始座標系x0,y0,z0分別轉多少度?因為如果我用歐拉角Z-Y-X為轉軸逆推，它會是由原始座標系方位先轉z，再由”轉完後”的座標系方位去轉y，之後”再次轉完後”的座標系方位去轉x，但如果我是要全部轉軸的方向都是原始座標系x0,y0,z0，那是要哪種堆導?

    Reply
  5. 任書瑋 says:
    02/18/2016 at 11:27 pm

    沒錯我的問題就是extrinsic rotations，感謝老師

    Reply
  6. 吳同學 says:
    08/22/2016 at 4:49 pm

    老師您好，我建立了一個座標(F1)，建立好後透過向量內積確定XYZ間皆為垂直。然後我對F1的Y軸旋轉”-30″度後產生一個新的座標系(F2)，建立好建立好後透過向量內積確定XYZ間是否垂直，結果發現F2的XZ向量間的夾角變成了83.80度。想請問老師對此有何看法，謝謝

    Reply
    • 吳同學 says:
      08/22/2016 at 4:50 pm

      建立好建立好後透過向量內積確定XYZ間是否垂直 → 建立好後透過向量內積確定XYZ間是否垂直

      Reply
    • ccjou says:
      08/22/2016 at 5:27 pm

      我想到兩種可能：
      1) 你發現了一套新幾何學；
      2) 你算錯了。

      Reply
  7. 小游 says:
    11/10/2016 at 1:05 pm

    老師好，
    如果是座標點(1,0,0)以軸(X,Y,Z),X=Y=Z旋轉30度，要求該點的新座標。
    請問也是用歐拉角公式來求嗎?

    Reply
  8. Evan says:
    05/05/2017 at 10:40 am

    請問老師，本頁歐拉角公式是旋轉座標系還是旋轉向量時使用？
    根據wiki，兩者的旋轉矩陣的theta會差一個負號。
    https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix#cite_note-3
    本頁看敘述應是旋轉座標系，wiki則是旋轉向量，但兩者的旋轉矩陣卻相同

    Reply
    • ccjou says:
      05/06/2017 at 8:53 pm

      本文的歐拉角公式給出的是旋轉矩陣，新座標系是舊座標系經旋轉而得。

      Reply
  9. 丫穆 says:
    09/16/2020 at 9:20 am

    請問一下，
    有一原始座標(x0,y0,z0)，目的為座標(x1,y1,z1)，
    要如何求得其旋轉矩陣。

    Reply

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