向量空間與實例

本文的閱讀等級：初級

法國數學家龐加萊 (Henri Poincaré) 說^[1]：「數學是給予不同東西相同的名稱的一門藝術。」19世紀末矩陣理論建立後，數學家發現許多與矩陣差異頗大的數學實體在本質上其實非常相似。舉例來說，歐幾里得空間 $\mathbb{R}^3$ 是一個由點 $(x_1,x_2,x_3)$ 組成的集合，其中 $x_i$ 為實數。在歐氏幾何中，我們可以計算兩個點之和 (兩個向量相加)，伸縮連接原點與一個點的線段 (一個向量與一個數相乘)^[2]。多項式集合 $\mathcal{P}_n$ 由最高次數為 $n$ 的多項式組成，我們可以計算兩個多項式之和，一個多項式可與一個數相乘。不僅如此，這些不同的數學實體在加法以及與純量的乘法運算上和矩陣有著相同的性質。因此，與其分別研究這些數學主題，不如根據它們共有的性質統合在一起研究來得有效率。最終，數學家以抽象的公理化方式定義出一個數學結構，稱為向量空間。任何一個數學實體只要滿足這些規範都可歸類為向量空間。在數學中，空間一詞並不單獨存在，我們可以稱 $X$ 是一個集合，但不稱 $X$ 是一個空間。粗淺地說，空間是一個賦予某種數學結構的集合，該數學結構決定空間的名稱。向量空間是一種代數結構，線性變換 (或稱線性映射) 是兩個向量空間之間的一種特殊映射，因此向量空間也稱為線性空間，意即線性變換所在的空間。請注意，我們定義的是向量空間，而非向量。任何一個向量空間的元素都稱為向量，因此本文指稱的向量是幾何向量的推廣。

一個向量空間涉及四樣東西，兩個集合 $\mathcal{V}$ 與 $\mathbb{F}$ ，兩個代數運算，稱為向量加法 $+:\mathcal{V}\times\mathcal{V}\to\mathcal{V}$ 與純量乘法 $\cdot:\mathbb{F}\times\mathcal{V}\to\mathcal{V}$ ，分述於下：

$\mathcal{V}$ 是一個非空集合，稱為向量空間，其中元素稱為向量；
$\mathbb{F}$ 是一個純量體或簡稱體 (field)，在大部分的情況下， $\mathbb{F}$ 是實數系 $\mathbb{R}$ 或複數系 $\mathbb{C}$ ；
向量加法 $\mathbf{x}+\mathbf{y}$ 是 $\mathcal{V}$ 的任何兩個元素 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{y}$ 之間的一個運算；
純量乘法 $\alpha\mathbf{x}$ (省略乘法符號) 是 $\mathbb{F}$ 的任一元素 $\alpha$ 與 $\mathcal{V}$ 的任一元素 $\mathbf{x}$ 之間的一個運算。

歐幾里得空間 $\mathbb{R}^3$ 也稱為三維座標空間 (coordinate space)，因為三維空間中一個點的座標 $(x_1,x_2,x_3)$ 可以代表從原點至該點的向量，記為 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)$ 。歐幾里得空間 $\mathbb{R}^3$ 是一個向量空間，底層體是實數系 $\mathbb{R}$ ，向量 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)$ 與 $\mathbf{y}=(y_1,y_2,y_3)$ 的加法定義為 $\mathbf{x}+\mathbf{y}=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3)$ ，向量 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)$ 與純量 $\alpha$ 的乘法定義為 $\alpha\mathbf{x}=(\alpha x_1,\alpha x_2,\alpha x_3)$ 。根據歐幾里得空間的向量加法與純量乘法規則，數學家給出向量空間的正式定義，如下：

集合 $\mathcal{V}$ 是一個佈於 (over) 體 $\mathbb{F}$ 的向量空間，若對於任何向量 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathcal{V}$ 與純量 $\alpha\in\mathbb{F}$ ，向量加法 $\mathbf{x}+\mathbf{y}$ 與純量乘法 $\alpha\mathbf{x}$ 滿足封閉性，以及這 8 個性質：

加法交換律： $\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{y}+\mathbf{x}$ ；
加法結合律： $\mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z})=(\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z}$ ；
向量單位元：存在唯一的 $\mathbf{0}\in\mathcal{V}$ 使得 $\mathbf{x}+\mathbf{0}=\mathbf{x}$ ；
逆元：存在唯一的 $-\mathbf{x}\in\mathcal{V}$ 使得 $\mathbf{x}+(-\mathbf{x})=\mathbf{0}$ ；
向量分配律： $(\alpha+\beta)\mathbf{x}=\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{x}$ ， $\alpha,\beta\in \mathbb{F}$ ；
純量分配律： $\alpha(\mathbf{x}+\mathbf{y})=\alpha\mathbf{x}+\alpha\mathbf{y}$ ；
結合律： $\alpha(\beta\mathbf{x})=(\alpha\beta)\mathbf{x}$ ；
純量單位元：存在唯一的 $1\in \mathbb{F}$ 使得 $1\mathbf{x}=\mathbf{x}$ 。

習慣上我們用小寫粗體英文字母代表向量，小寫細體希臘字母代表純量。向量空間的公理提供了支援演算時所需的重組、分解與化簡規則，許多基本且重要的向量空間性質可以從上述公理導出，下面列舉幾個例子：在任何一個向量空間，

若 $\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{x}+\mathbf{z}$ ，則 $\mathbf{y}=\mathbf{z}$ 。
若 $\alpha\mathbf{x}=\alpha\mathbf{y}$ 且 $\alpha\neq 0$ ，則 $\mathbf{x}=\mathbf{y}$ 。
若 $\alpha\mathbf{x}=\beta\mathbf{x}$ 且 $\mathbf{x}\neq\mathbf{0}$ ，則 $\alpha=\beta$ 。
$(\alpha-\beta)\mathbf{x}=\alpha\mathbf{x}-\beta\mathbf{x}$ 。
$\alpha(\mathbf{x}-\mathbf{y})=\alpha\mathbf{x}-\alpha\mathbf{y}$ 。
$(-\alpha)\mathbf{x}=\alpha(-\mathbf{x})=-(\alpha\mathbf{x})$ 。
$\alpha\mathbf{0}=\mathbf{0}$ 。

抽象代數關注向量空間與其他代數結構的關係以及公理的發展與結論 (見“線性代數裡的代數結構”)。在一般的線性代數，我們比較在意向量空間的幾何性質與線性變換於向量空間的作為。但不論最終目的是甚麼，你都應當認識一些重要的向量空間並瞭解為甚麼這些數學實體的確是向量空間。

例 1. 座標空間 $\mathbb{F}^n$ ( $\mathbb{F}$ 是 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ ) 是 $n$ 維座標向量 $\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)$ 形成的一個集合。給定兩個座標向量 $\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)$ 與 $\mathbf{y}=(y_1,\ldots,y_n)$ ，以及實 (或複) 數 $\alpha$ ，定義座標向量加法 $\mathbf{x}+\mathbf{y}=(x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n)$ ，純量乘法 $\alpha\mathbf{x}=(\alpha x_1,\ldots,\alpha x_n)$ 。實座標空間 $\mathbb{R}^n$ 的底層體是實數系，複座標空間 $\mathbb{C}^n$ 的底層體是複數系。零向量 $\mathbf{0}$ 定義為 $\mathbf{0}=(0,\ldots,0)$ ，向量 $\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)$ 的逆元為 $-\mathbf{x}=(-x_1,\ldots,-x_n)$ 。類似歐幾里得空間 $\mathbb{R}^3$ ， $\mathbb{F}^n$ 也滿足 8 個公理，因此是一個向量空間。

例 2. 令 $\mathbb{R}^{m\times n}$ 代表 $m\times n$ 階實矩陣形成的集合， $\mathbb{C}^{m\times n}$ 代表 $m\times n$ 階複矩陣形成的集合。給定兩個 $m\times n$ 階實 (或複) 矩陣 $A=[a_{ij}]$ 與 $B=[b_{ij}]$ ，以及實 (或複)數 $\alpha$ ，定義矩陣加法 $(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$ ，純量乘法 $(\alpha A)_{ij}=\alpha a_{ij}$ ， $1\le i\le m$ ， $1\le j\le n$ 。實矩陣的底層體是實數系，複矩陣的底層體是複數系。零矩陣 $0$ 定義為 $(0)_{ij}=0$ ，矩陣 $A=[a_{ij}]$ 的逆元為 $-A=[-a_{ij}]$ ，不難驗證實矩陣與複矩陣滿足 8 個公理，因此 $\mathbb{R}^{m\times n}$ 與 $\mathbb{C}^{m\times n}$ 是向量空間。

例 3. 令 $\mathcal{P}(\mathbb{F})$ 代表係數為 $\mathbb{F}$ 的多項式集合。給定兩個多項式 $p(t)=\sum_{k=1}^ma_kt^k$ 與 $q(t)=\sum_{k=1}^nb_kt^k$ ， $t\in[a,b]$ ，以及純量 $\alpha\in\mathbb{F}$ ，定義多項式加法 $(p+q)(t)=\sum_{k=1}^{\max\{m,n\}}(a_k+b_k)t^k$ ，純量乘法 $(\alpha p)(t)=\sum_{k=1}^m(\alpha a_k)t^k$ 。零多項式 $0(t)$ 使得所有的 $t\in[a,b]$ 有 $0(t)=0$ 。多項式 $p(t)=\sum_{k=1}^ma_kt^k$ 的逆元為 $-p(t)=\sum_{k=1}^m(-a_k)t^k$ ，多項式加法與純量乘法滿足 8 個公理，因此 $\mathcal{P}(\mathbb{F})$ 是一個向量空間。

例 4. 令 $\mathbb{R}^\infty$ 代表實序列 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\ldots)$ ，或記為 $\mathbf{x}=\{x_k\}_{k=1}^\infty$ ，形成的一個集合。給定兩個序列 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\ldots)$ 與 $\mathbf{y}=(y_1,y_2,\ldots)$ ，以及實數 $\alpha$ ，序列加法定義為 $\mathbf{x}+\mathbf{y}=(x_1+y_1,x_2+y_2,\ldots)$ ，純量乘法定義為 $\alpha\mathbf{x}=(\alpha x_1,\alpha x_2,\ldots)$ 。零序列 $\mathbf{0}$ 定義為 $\mathbf{0}=(0,0,\ldots)$ ，序列 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\ldots)$ 的逆元為 $-\mathbf{x}=(-x_1,-x_2,\ldots)$ 。如同座標空間 $\mathbb{R}^n$ ，實序列集合 $\mathbb{R}^\infty$ 滿足向量空間的規範。

例 5. 假設定義於區間 $X=[a,b]$ 的兩函數 $f$ 與 $g$ 有定義良好的加法，對於實數 $\alpha$ 有定義良好的純量乘法：

$\begin{aligned} (f+g)(x)&=f(x)+g(x),\\ (\alpha f)(x)&=\alpha f(x). \end{aligned}$

底下的函數集合都是佈於 $\mathbb{R}$ 的向量空間，統稱為函數空間：

所有的映射 $f:X\to\mathbb{R}$ 形成的集合；
所有的連續實函數 $f:X\to\mathbb{R}$ 形成的集合；
所有的連續可微分實函數 $f:X\to\mathbb{R}$ 形成的集合。

例 6. 令 $\mathcal{L}$ 代表歐幾里得空間 $\mathbb{R}^3$ 中穿越原點的一條直線， $\mathcal{L}=\{(xa,xb,xc)|x\in\mathbb{R}\}$ ，其中 $a,b,c$ 是不全為零的實數。給定直線 $\mathcal{L}$ 上兩個點 $\mathbf{x}=(xa,xb,xc)$ 與 $\mathbf{y}=(ya,yb,yc)$ ，以及實數 $\alpha$ ，兩點相加可得 $\mathbf{x}+\mathbf{y}=((x+y)a,(x+y)b,(x+y)c)\in\mathcal{L}$ ，點與純量相乘可得 $\alpha\mathbf{x}=((\alpha x)a,(\alpha x)b,(\alpha x)c)\in\mathcal{L}$ 。直線 $\mathcal{L}$ 滿足點加法與純量乘法封閉性，因此是一個向量空間。比較特別的是， $\mathcal{L}$ 是一個被向量空間 $\mathbb{R}^3$ 包含的向量空間，我們稱直線 $\mathcal{L}$ 是歐幾里得空間 $\mathbb{R}^3$ 的一個子空間 (subspace)。

線性代數開山鼻祖之一的英國數學家凱萊 (Arthur Cayley) 說^[3]：「數學理論如其他每一樣事物：美只能感知不能言傳。」線性代數是一個優美凝鍊的數學理論。從向量空間開始，只要不半途放棄，你終究可以在學習過程中體會線性代數之美。

註解
[1] 英譯文：“Mathematics is the art of giving the same name to different things.”
[2] 在歐幾里得空間 $\mathbb{R}^3$ ，除了兩個向量可相加，一個向量可伸縮長度，我們還可以計算一個向量的長度，兩個向量 (點) 之間的距離以及兩個向量的夾角。將這些幾何概念與性質抽象推廣可衍生出其他的數學結構，譬如，賦範向量空間 (normed vector space) 與內積空間 (inner product space)，詳見“歐幾里得空間的數學結構”。
[3] 原文：“As for everything else, so for a mathematical theory: beauty can be perceived but not explained.”

3 Responses to 向量空間與實例

iwjiefj says:

03/11/2016 at 10:24 pm

太棒了!

yu says:

09/06/2018 at 11:47 pm

老師，請問多項式 p(t)=\sum_{k=1}^ma_kt^k 之下標是不是應該改成0 ,否則任意多項式皆無常數項

nemo says:

11/07/2020 at 8:41 pm

请问这个网页是不再更新了吗

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