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考慮齊次線性微分方程
,
其中 是微分算子, 皆為常係數。令
。
以 取代 ,可得 。從線性代數觀點,求解齊次線性微分方程 等同於計算線性算子 的核 (kernel) 或零空間 (見“從線性代數看微分方程”)。本文解釋如何利用多項式來分解向量空間,藉此並可建立齊次線性微分方程解法的理論基礎。
令 為一個有限維向量空間, 為線性算子。對於子空間 ,令 代表子空間 中所有向量經過 映射得到的像 (image) 所成的集合,即
。
若 ,我們稱 是線性算子 的一個不變子空間 (invariant subspace,見“不變子空間──解構線性算子的利器”)。舉一例,若 是一個多項式,且 是 的零空間,則 是 的一個不變子空間。證明於下:假設 。因為 ,可知 ,就有
,
故證明 屬於 的零空間。
若 且 ,則 稱為 次多項式,記為 。如果多項式 和 的最高公因式為 ,也就是說,除了常數外沒有其他公因式,我們稱它們互質。下面的定理說明若多項式可分解成兩個互質的因式,則向量空間可分解成兩個不變子空間的直和。
定理一:令 為一個多項式,且 為滿足 的線性算子。若 ,其中 且 和 互質,則 是 和 的直和,記為 ,其中 是 的零空間, 是 的零空間。
證明於下。因為 和 互質,存在多項式 和 使得
,
即有關鍵式:
,
其中 為單位算子。對於 ,
。
等號右邊第一項屬於 ,因為
。
類似地,等號右邊第二項屬於 。這說明 。接著我們要證明 。假設 且 ,則 且 。再套用關鍵式,可得
。
因為 等價於 且 (見“補子空間與直和”),故得證。
定理一可以推廣至 分解為多個因式的情況。
定理二:令 為一個多項式,且 為滿足 的線性算子。若
,
其中 是相異根,則
,
其中 是 的零空間,。
證明採用歸納法。我們將 一個一個分解出來。令 為 的零空間, 為 的零空間。因為 和 互質,根據定理一,。因為 是一個不變子空間,將線性算子 限定於子空間 上,稱為限定算子 (restriction),以符號表示為 (見“利用循環子空間計算特徵多項式”)。繼續分解限定算子 所在的子空間 ,可得
,
其中 是 在 的零空間,,即有
。
現在我們回到齊次線性微分方程的求解問題:
。
提出所有微分算子,寫成多項式並分解因式:
。
套用定理二,以微分算子 取代線性算子 ,則微分方程的齊次解所形成的空間 (即向量空間 ) 可分解為 ,,的解空間的直和。所以原始的微分方程化約為更簡單的標準形式:
。
這樣做的好處是非常容易求出上式的解。定理三給出這個齊次微分方程的解空間基底,稱為解基 (solution basis)。
定理三:若 為複數, 是微分方程 的解空間,則 且下列函數構成 的解基:
。
對於任一 ,使用數學歸納法可證明[1]
。
因此, 屬於 的零空間等價於
。
我們知道 次微分等於 的唯一函數型態是最高次數為 的多項式。換句話說, 的通解定可表示為 的線性組合。利用 Wronskian 行列式可證明這些函數組成線性獨立集,故為齊次微分方程解的解基 (見“利用行列式判斷線性獨立函數”)。
註解
[1] 若 ,則
。
當 ,假設 。使用上式,可得
因此得證。