設 為一個 階矩陣, 或 表示特徵值, 或 表示對應的特徵向量。
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一般性質
逆矩陣
特徵值:
特徵向量:
冪矩陣
特徵值:
特徵向量:,但若 , 的幾何重數會隨 增大至代數重數。
平移
特徵值:
特徵向量:
矩陣多項式
特徵值:
特徵向量:
矩陣指數
特徵值:
特徵向量:
矩陣函數
特徵值:
特徵向量:
相似
特徵值:
特徵向量:
特殊矩陣
秩一(rank-one)矩陣
(實矩陣 )
特徵值:
特徵向量:
平面旋轉矩陣
特徵值:
特徵向量:
正規(normal)矩陣
特徵值:未定
特徵向量:彼此正交
常見的正規矩陣包括:Hermitian 矩陣/實對稱矩陣,skew-Hermitian 矩陣/反對稱矩陣,正定矩陣,么正矩陣/正交矩陣。
Hermitian 矩陣/實對稱矩陣
(實矩陣 )
特徵值:實數
特徵向量: (實矩陣 )
skew-Hermitian 矩陣/反對稱矩陣
(實矩陣 )
特徵值:純虛數
特徵向量:
正定(positive definite)矩陣
對於任一非零向量 ,。複正定矩陣隱含 Hermitian,實正定矩陣隱含對稱。
特徵值:正數
特徵向量: (實矩陣 )
Gramian 矩陣
(實矩陣 ), 是 階。 是一半正定矩陣。
特徵值:非負數
特徵向量: (實矩陣 )
么正(unitary)矩陣/正交(orthogonal)矩陣
(實矩陣 )
特徵值:
特徵向量: (實矩陣 )
冪零(nilpotent)矩陣
存在正整數 使得 。
特徵值:
特徵向量:
冪等(idempotent)矩陣
特徵值: 或
特徵向量:對應特徵值 的特徵向量屬於零空間 ,對應特徵值 的特徵向量屬於行空間 。
對合(involutory)矩陣
特徵值: 或
特徵向量:對應特徵值 的特徵向量屬於行空間 ,對應特徵值 的特徵向量屬於行空間 。
Householder 矩陣(基本鏡射矩陣)
,其中 。
特徵值:,
特徵向量:
排列(permutation)矩陣
的每一行和每一列恰有一個元為 ,其餘元為 。 是一正交矩陣。
特徵值:
特徵向量:
組合(combinatorial)矩陣
,其中 。
特徵值:,
特徵向量:
基本循環(circulant)矩陣
例:
特徵值:
特徵向量:
三對角(tridiagonal)矩陣
例:
特徵值:
特徵向量:
相伴(companion)矩陣
例:
特徵值: 是多項式 的根
特徵向量:
馬可夫(Markov)矩陣(隨機矩陣)
特徵值: 且
特徵向量:對應特徵值 的特徵向量的各個元皆大於或等於零。