常見問題

[2008年]十月初，哈佛大學一項學生學習成效調查結果，在哈佛教授間投下了一顆震撼彈。哈佛大學伯克教學中心 (Derek Bok Center for Teaching and Learning) 針對二十門課的教授、四百位學生，分別調查老師與學生是否掌握課堂「核心概念」(big idea)？跌破教授眼鏡的是，只有不到三成的學生，抓到教授在那門課想傳達的核心概念。…… 哈佛發現，即便是聰明又會考試的全美資優生，也經常帶著偏見的知識前來學習。他們很會考試但不會問好問題，他們習慣被動學習，導致學習成效很差。在一個知識持續變動的時代，哈佛意識到，「如何教」比「教什麼」更重要；他們更提醒全世界各級老師與父母，在學習這條路上，角色必須調整，我們不再是單向傳遞知識的聖人 (sage)，而是與學生一同探索學習的伙伴 (collaborator)。

───〈哈佛的難題〉，《校園天下》

(更新修訂中，日後將予以分類)

線性代數有甚麼學習改進方法？
線性代數與微分方程都有特徵多項式，這兩門學科有甚麼關係？
線性變換與矩陣有甚麼關係？
矩陣乘法的定義從何而來？二矩陣相乘代表甚麼意義？
矩陣乘法有哪些計算方式？
矩陣代數有哪些運算規則與技巧？
我知道 AB 不一定等於 B A，但 \mathrm{rank}(AB) 是否等於 \mathrm{rank}(BA)？
我知道 AB 不一定等於 B A，但它們是否擁有甚麼相同的性質？
若 A 和 B 是 n\times n 階矩陣，為甚麼 AB=I 可以推論 BA=I？
線性代數的核心概念是甚麼？我能夠從一個 m\times n 階矩陣 A 獲得哪些重要的訊息？
向量空間有向量加法和純量乘法，但為甚麼沒有「向量乘法」(不是內積) 運算？
為甚麼線性組合 (向量加法與純量乘法) 是向量空間的基本運算？
為甚麼向量空間不稱作「向量集合」？子空間和向量空間又有甚麼關係？
線性方程 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 的解有甚麼幾何意義？
為甚麼齊次方程 A\mathbf{x}=\mathbf{0} 的解集合構成子空間 (零空間)，但線性方程 A\mathbf{x}=\mathbf{b}, \mathbf{b}\neq\mathbf{0} 的解集合卻不是子空間？
為甚麼線性方程的通解 (general solution) 可以表示成特解 (particular solution) 和齊次解 (homogeneous solution) 之和？特解是唯一存在嗎？
為甚麼不可逆矩陣又稱為奇異 (singular) 矩陣？
怎麼證明上三角矩陣的逆矩陣也是上三角矩陣？有沒有別於直接計算的證法？
我知道 (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}，(A+B)^{-1} 有簡單的計算公式嗎？
3\times 3 階矩陣有逆矩陣公式嗎？
為甚麼多項式 p(t)=a_nt^n+\cdots+a_1t+a_0 也稱為向量？
線性映射與座標變換有甚麼不同？
為甚麼 \left[\!\!\begin{array}{cr} a&-b\\ b&a \end{array}\!\!\right] 可以用來表示複數 a+bi？
為甚麼三維空間變換要用 4\times 4 階矩陣表示？
為甚麼矩陣秩代表矩陣的「真實尺寸」？
矩陣 A，A^{\ast}，A^{\ast}A，AA^{\ast}，\overline{A} 和 A^T 有相同的矩陣秩嗎？
為甚麼基底必須由一組線性獨立向量組成？
為甚麼矩陣的行空間就是線性變換的值域？零空間就是線性變換的核？
基本列運算為甚麼不改變矩陣的行向量的線性組合關係？
為甚麼 A 的行空間包含 AB 的行空間？為甚麼 AB 的零空間包含 B 的零空間？有沒有較為直覺的解釋？
從計算結果來看，簡約列梯形式 (reduced row echelon form) 似乎是唯一存在的，但如何證明呢？
矩陣 A 與其轉置矩陣 A^T 的關係有甚麼幾何解釋？
Jacobian 矩陣和 Hessian 矩陣有甚麼關係？
矩陣 A 與其伴隨矩陣 \mathrm{adj}A 有甚麼關係？\mathrm{adj}A 的伴隨矩陣又是甚麼？
行列式有甚麼直覺解釋？
行列式有甚麼幾何意義？
變換矩陣的行列式有甚麼物理意義？
二矩陣和的行列式 \det(A+B) 有計算公式嗎？
行列式 \det A 與 A 的行向量之間存在甚麼不等關係嗎？
為甚麼要定義向量內積？甚麼是內積空間？
我知道 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 代表聯立方程組，但為甚麼會有特徵方程 A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}？
線性變換的特徵值與特徵向量有甚麼幾何 (物理) 意義？
為甚麼任一方陣必存在至少一特徵值？
為甚麼相異特徵值的特徵向量是線性獨立的？
為甚麼特徵值的幾何重數不大於代數重數？
如果不使用 Cayley-Hamilton 定理，如何確認對於 n\times n 階矩陣 A，必定存在 n 次多項式 p(t) 使得 p(A)=0？
我知道正定矩陣的定義，但是否有較富直覺的解釋？
實對稱矩陣和 Hermitian 矩陣有哪些應用範疇？
哪些是我應該知道的重要矩陣分解式？
奇異值分解有甚麼幾何意義？

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