線性代數教學光碟延伸閱讀

Technical skill is mastery of complexity while creativity is mastery of simplicity.

― E. Christopher Zeeman

 
這份閱讀導覽按照我為《教學光碟》撰寫的《線性代數講義本》編排，涵蓋基礎線性代數的七大主題：線性方程與矩陣代數、向量空間、線性變換、正交 (內積空間)、行列式、特徵分析和二次型。小節標題代表重要的線性代數辭條，各小節間環環相扣，因此存在某種層次關係。為便利讀者參照查閱，各小節編列與主題旨趣相關的文章連結，其中凡標記 * 者，代表此文內容較為艱深冷僻，省略該文並不會妨礙理解核心觀念。除此之外，讀者亦可利用本網誌的「搜尋」與「標籤」功能查找更多的相關文件。

 
Chapter 1 Linear Equations and Matrix Algebra

1-1 System of Linear Equations

• 線性方程組的幾何意義

1-2 Elimination

• 高斯消去法
• 《九章算術》的方程術*

1-3 Elimination Using Matrix Multiplications

• 線性代數的第一堂課──矩陣乘法的定義
• 特殊矩陣 (10)：基本矩陣

1-4 Matrix Algebra

• 基本矩陣運算的定義
• 答季同學──關於矩陣乘法的運算方式
• 矩陣乘法的現代觀點

1-5 Inverse Matrices

• 逆矩陣與恆等式
• 矩陣運算的基本技巧
• 可逆矩陣之左逆矩陣等同右逆矩陣的證明*

1-6 Finding the Inverse

• 高斯─約當法
• 可逆矩陣定理
• 可逆矩陣定理之實戰演練
• 三角矩陣的逆矩陣
• 三階逆矩陣公式
• 三角圖案矩陣的逆矩陣*

1-7 LU Factorization

• LU 分解
• 無相互作用的矩陣積
• PA=LU 分解
• 利用 LU 分解推導 Lehmer 矩陣的逆矩陣*

1-8 Transposes

• 轉置與共軛轉置
• 轉置矩陣的意義*
• 特殊矩陣 (16)：排列矩陣*

1-9 Block Matrices

• 兩矩陣和的逆矩陣
• 分塊矩陣的解題案例──逆矩陣與矩陣乘積的特徵值

Applications

• 線性代數在數值分析的應用 (一)：兩點邊值問題
• 線性代數在數值分析的應用 (二)：Dirichlet 問題
• 線性代數在圖論的應用 (一)：鄰接矩陣
• 渡河問題
• 利用基本列運算實現擴展歐幾里得演算法
• 利用逆矩陣積分

 
Chapter 2 Vector Spaces

2-1 Vector Spaces and Subspaces

• 線性世界的根基──疊加原理
• 向量空間與實例
• 子空間的辨識
• 線性代數裡的代數結構*

2-2 Column Space and Nullspace

• Ax=b 和 Ax=0 的解集合有什麼關係？
• 矩陣乘積的子空間分析*
• 行空間—零空間分解*

2-3 Reduced Row Echelon Form

• 行空間與零空間的互換表達
• 零空間的快捷算法
• 利用行列式計算矩陣秩
• 簡約列梯形式的唯一性*

2-4 General Solutions to Ax=b

• 線性方程 Ax=b 的通解與矩陣 A 的四個基本子空間整合算法
• 零空間的快捷算法
• 由簡約列梯形式判斷線性方程解的結構
• 答延伸寸──關於線性方程的通解表達
• 想像力比知識更重要
• 仿射組合與仿射空間*

2-5 Independence, Basis and Dimension

• 線性獨立俱樂部
• 線性獨立向量集的判定與算法
• 由簡約列梯形式判斷行空間基底
• 左乘還是右乘，這就是問題所在
• 基底與維數常見問答集
• 補子空間與直和*

2-6 Four Fundamental Subspaces

• 行秩=列秩
• 矩陣的四個基本子空間基底算法
• 線性代數基本定理 (一)
• 你不能不知道的矩陣秩
• 秩分解──目視行秩等於列秩*
• 等價標準型*
• 利用 Gramian 矩陣證明行秩等於列秩*

2-7 Existence and Uniqueness of Inverses

• 圖說矩陣基本子空間與線性方程解的結構
• 特殊矩陣 (5)：冪等矩陣
• 直和與投影*
• 破解矩陣秩的等式與不等式證明*

Applications

• 希爾密碼
• 線性代數在圖論的應用 (二)：關聯矩陣

 
Chapter 3 Linear Transformations

3-1 Introduction to Linear Transformations

• 變換矩陣的設計
• 仿射變換*

3-2 Language of Transformations

• 線性變換與矩陣的用語比較
• 運用輸入輸出模型活化秩─零度定理

3-3 Coordinate Systems and General Vector Spaces

• 線性映射與座標變換
• 同構的向量空間
• 線性變換集合構成向量空間*

3-4 Matrices of Linear Transformations

• 線性變換表示矩陣
• 線代膠囊──線性變換表示矩陣

3-5 Change of Basis

• 啊哈！原來變換矩陣這麼簡單
• 答npes_87184──關於參考不同的定義域基底與到達域基底的線性變換表示矩陣轉換問題
• 圖解基底變換、座標變換、相似變換與相似矩陣*
• 座標變換與基底變換的對應關係*
• 基底變換*

 
Chapter 4 Orthogonality

4-1 Orthogonal Vectors and Orthogonal Subspaces

• 內積的定義
• 線性代數基本定理 (二)
• 線性方程解的存在性與唯一性*
• Schwarz 不等式*

4-2 Projections

• 正交投影──威力強大的線代工具
• 線代膠囊──正交投影矩陣
• 正交補集與投影定理*
• 仿射投影*

4-3 Least Squares Approximations

• 從線性變換解釋最小平方近似
• 正交投影矩陣的性質與界定*

4-4 Orthogonal Matrices

• 特殊矩陣 (3)：么正矩陣 (酉矩陣)
• 等距同構與么正矩陣
• 單範正交基底*
• 旋轉與鏡射*
• 特殊矩陣 (4)：Householder 矩陣*

4-5 Gram-Schmidt Process

• Gram-Schmidt 正交化與 QR 分解
• 線代膠囊──QR 分解
• Gram-Schmidt 正交化改良版*
• 從幾何向量空間到函數空間*

Applications

• 曲線配適
• 最小平方法於圖形比對的應用
• 離散傅立葉轉換
• 摺積與離散傅立葉轉換
• 快速傅立葉轉換

 
Chapter 5 Determinants

5-1 Properties of Determinants

• 行列式的運算公式與性質
• 矩陣乘積行列式公式的代數證法
• 利用分塊矩陣證明 det(AB)=(detA)(detB)

5-2 Formulas for Determinants

• 行列式公式的推導
• 分塊矩陣的行列式
• Chiò演算法──另類行列式計算法
• Dodgson 縮合法──奇特的行列式運算法*
• 矩陣和之行列式(上)*

5-3 Applications of Determinants

• 克拉瑪公式的證明
• 超迷你克拉瑪公式的證明
• 線性變換把面積縮放了
• 再談克拉瑪公式的證明*
• 伴隨矩陣*
• 行列式的幾何意義*

Applications

• 利用行列式計算多邊形面積
• 利用行列式判斷線性獨立函數

 
Chapter 6 Eigenanalysis

6-1 Eigenvalues and Eigenvectors

• 從不變子空間切入特徵值問題
• 答Rich──關於特徵值與特徵向量的物理意義
• 特徵向量是甚麼物，恁麼來？
• 限定算子的特徵值與特徵向量 (上)*
• Cayley-Hamilton 定理的一個代數證明方法*

6-2 Properties of Eigenvalues and Eigenvectors

• 特徵多項式蘊藏的訊息
• 相異特徵值對應線性獨立的特徵向量之簡易證明
• 特徵值的代數重數與幾何重數
• 肉眼判讀特徵向量
• 幾何重數不大於代數重數的證明*
• AB 和 BA 有何關係？*
• 分塊矩陣特徵值的計算方法*
• 拒絕行列式的特徵分析*

6-3 Diagonalization

• 可對角化矩陣與缺陷矩陣的判定
• 可對角化矩陣的譜分解*
• 同時可對角化矩陣*
• 矩陣三角化的 Schur 定理*

6-4 Difference Equations

• 費布納西數列的表達式
• 收斂矩陣*
• 利用 Jordan form 解差分方程與微分方程*

6-5 Differential Equations

• 線性微分方程解的存在性與唯一性
• 線性微分方程的穩定性
• 矩陣指數
• 利用 Cayley-Hamilton 定理計算矩陣函數
• 從線性代數看微分方程*

6-6 Complex Eigenvalues

• 解讀複特徵值

6-7 Similar Matrices

• 相似變換下的不變性質
• 如何檢查二矩陣是否相似
• 答JERRY──關於相似變換矩陣的解法
• 就是要相似*

Applications

• Google 搜尋引擎使用的矩陣運算
• 如何減低排名計算的偏誤
• 自由振動系統的特徵值與特徵向量
• 馬可夫過程
• 利用馬可夫鏈計算擲幣事件發生的機率
• 有向無環圖與 (0,1) 矩陣的特徵值

 
Chapter 7 Quadratic Forms

7-1 Symmetric Matrices

• 特殊矩陣 (9)：Hermitian 矩陣
• 實對稱矩陣可正交對角化的證明
• Hermitian 矩陣與實對稱矩陣的一些實例*
• 特殊矩陣 (2)：正規矩陣*
• Hermitian 矩陣特徵值的變化界定*
• 矩陣與複數的類比*

7-2 Introduction to Quadratic Forms

• 二次型與正定矩陣
• 相合變換*
• 最佳化理論與正定矩陣*

7-3 Positive Definite Matrices

• 特殊矩陣 (6)：正定矩陣
• 正定矩陣的性質與判別方法
• 半正定矩陣的判別方法*

7-4 Singular Values

• 線性代數基本定理 (三)

7-5 Singular Value Decomposition

• 線性代數基本定理 (四)
• 奇異值分解 (SVD)
• 線代膠囊──奇異值分解
• 利用 Gramian 矩陣的譜分解推導奇異值分解
• 線性變換觀點下的奇異值分解
• 奇異值分解的幾何意義*
• 特殊矩陣 (14)：Gramian 矩陣*

Applications

• 圓錐曲線
• 費雪不等式
• SVD 於矩陣近似的應用*
• 正交 Procrustes 問題*
• SVD 於資訊檢索與文本搜尋的應用*
• 主成分分析*
• 主成分分析與奇異值分解*
• 古典多維標度法 (MDS)*
• 海森堡不確定性原理的矩陣證明*